Труба с водой
6/10Труба длиной \(L\) вместе с водой имеет массу \(M\). Она прикреплена к стене таким образом, что может свободно вращаться в вертикальной плоскости. Нижний конец трубы с площадью поперечного сечения \(S\) повёрнут на 90 градусов (см. рис.). В верхнюю часть трубы наливают воду таким образом, что из нижнего конца трубы выливается вода со скоростью \(v\). Найдите угол, на который труба отклонится от вертикали. Плотность воды известна и равна \(\rho\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаВытекающая струя уносит импульс. С какой силой она действует на трубу? Запишите уравнение моментов относительно точки подвеса.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(\sin\alpha = \dfrac{2\rho v^2 S}{Mg}\).
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеМасса воды, выходящей из трубы в единицу времени, равна \[\frac{\Delta m}{\Delta t} = \rho S v.\] Запишем второй закон Ньютона в импульсной форме для вытекшей воды: \[F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{\Delta (mv)}{\Delta t} = v\,\frac{\Delta m}{\Delta t}.\] По третьему закону Ньютона вытекшая вода с такой же силой действует на трубу, заполненную водой.
Уравнение моментов для трубы относительно точки подвеса: \[Mg\,\frac{L}{2}\sin\alpha = FL.\] Окончательно получаем: \[\sin\alpha = \frac{2\rho v^2 S}{Mg}.\]
Водомётный катер
4/10Насос разгоняет воду до скорости U относительно катера; реактивная сила ρS·V(U−V) уравновешена сопротивлением kV², отсюда установившаяся скорость. (варианты с разными числами)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Эолипил
6/10Эолипил (паровой двигатель, изобретённый в Древней Греции) представляет собой металлический котёл с двумя трубками на крышке, на которых, как на оси, может вращаться турбина в виде полого шара с двумя одинаковыми Г-образными патрубками (соплами). В котел заливают воду, герметично закрывают его и ставят на огонь. Образовавшийся при кипении водяной пар по трубкам поступает в шар и выходит с большой скоростью через сопла, заставляя шар вращаться (см. рисунок из «Википедии»). Пусть мощность подвода тепла к воде равна \(P = 1\) кВт, площадь сечения патрубка \(S = 0{,}1\) см\(^2\), а расстояние от сопла до оси вращения \(d = 10\) см. Считайте, что из сопла выходит насыщенный пар при атмосферном давлении, равном \(p_0 = 10^5\) Па. Трением в оси и сопротивлением воздуха можно пренебречь.
Определите момент сил, действующих на шар со стороны пара, если шар зафиксирован.
Какое максимальное количество оборотов в минуту будет делать шар, если ему позволить свободно вращаться?
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаРеактивная сила на один патрубок равна потоку импульса вытекающего пара. Мощность подвода тепла идёт на испарение, поэтому она связана с массовым расходом. Предельная скорость вращения достигается, когда пар выходит из сопла с нулевой скоростью относительно земли.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(M = \dfrac{P^2 R T_0 d}{2 S p_0 \mu L^2} \approx 1{,}8\cdot 10^{-3}\text{ Н}\cdot\text{м}\); 2) \(n_{\max} = \dfrac{15 P R T_0}{\pi p_0 \mu L S d} \approx 3700\text{ об/мин}\).
Наполнение бака водой из шланга
5/10Струя из шланга летит как брошенное тело; найти время заполнения по расходу, угол вылета для попадания в край бака и диапазон тангенсов углов, при которых струя попадает внутрь, используя 1/cos² = 1 + tg². (варианты 1–2)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.