Магнитный поток

Индукция однородна, поэтому поток через плоскую площадку есть просто \(B\), умноженное на площадь проекции этой площадки на плоскость, перпендикулярную \(\mathbf{B}\).

В условии угол \(\alpha\) — между плоскостью и направлением поля. Тогда угол между нормалью и \(\mathbf{B}\) равен \(90^\circ-\alpha\), и

а. Квадрат стороны \(a\), \(S=a^2\), \(\alpha=60^\circ\), \(\sin60^\circ=\sqrt{3}/2\):

б. Произвольная плоская площадь \(S\) под углом \(\alpha\) к полю:

Однородное \(\mathbf{B}\) направлено вдоль оси симметрии участка сферы. Линии не начинаются и не кончаются, поэтому поток через сферическую «шапочку» равен потоку через плоский круг — её проекцию на экваториальную плоскость.

На рисунке участок ограничен двумя параллелями с угловыми радиусами \(\alpha\) и \(\beta\) (от оси). Проекция — кольцо с радиусами \(R\sin\alpha\) и \(R\sin\beta\), площадь \(\pi R^2(\sin^2\alpha-\sin^2\beta)\). Поток

Для сегмента от оси до угла \(\alpha\) (\(\beta=0\)) было бы \(\Phi=B\pi R^2\sin^2\alpha\) — поток через круг радиуса \(R\sin\alpha\).

Поле бесконечного листа (9.3.3) однородно с каждой стороны и противоположно направлено: \(\mathbf{B}=\pm(\mu_0 i/2)\,\hat{\mathbf{t}}\). Оно чисто касательное к листу: нормальная компонента равна нулю и непрерывна при переходе через плоскость.

Линии \(\mathbf{B}\) — прямые, параллельные листу. Они приходят с бесконечности и уходят на бесконечность, нигде не обрываясь. Для любой замкнутой поверхности сколько линий вошло, столько и вышло.

Формально \(\operatorname{div}\mathbf{B}=0\) всюду, включая сам лист. Скачок касательной компоненты даёт поверхностный ток (\(\operatorname{rot}\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{j}\)), но не дивергенцию. Магнитных зарядов нет — это один из уравнений Максвелла.

Элемент тока даёт

Угловая структура — та же, что у поля «магнитной жидкости», текущей по окружностям вокруг оси \(\mathrm{d}\mathbf{l}\). Все линии замкнуты. Замкнутая линия не может дать ненулевой поток через замкнутую поверхность.

Иначе: любой реальный ток — замкнутый контур (или уходит на бесконечность). Элемент — кусок такого контура. Для полного контура \(\operatorname{div}\mathbf{B}=0\) доказано; формула Био–Савара такова, что это верно и для каждого элемента в отдельности. Особенность в \(r=0\) интегрируема и не несёт «магнитного заряда» (поток через малую сферу вокруг элемента стремится к нулю).

Возьмём плоскую «таблетку», пересекающую границу. Поток через неё равен нулю (\(\operatorname{div}\mathbf{B}=0\)). Высоту таблетки устремляем к нулю — потоки через бока исчезают, остаются две крышки:

Снизу индукция равна нулю, поэтому \(B_n^{\text{верх}}=0\). Однородное поле вблизи поверхности в верхней части не имеет нормальной составляющей — оно направлено параллельно поверхности.

Касательная компонента может иметь скачок — это поверхностный ток на границе (экран, сверхпроводник, токовый лист). На нормаль ток не влияет.

Пусть угол наклона к поверхности: при \(\alpha=90^\circ\) поле нормально. Тогда \(B_n=B\sin\alpha\), \(B_\tau=B\cos\alpha\). Непрерывность нормали:

Скачок касательной: \(B_{1\tau}-B_{2\tau}=\mu_0 i\),

Здесь \(B\) в ответе — это \(B_1\), поле «до» поверхности.

В областях 1 и 3 поле параллельно плоскости симметрии \(AA'\) и направлено в одну сторону. Линии «преломляются» на стенках клина, но остаются прямыми (поле однородно). Сохранение потока через трубку: \(B_1 a_1=B_2 a_2\), где ширины трубок связаны углом \(\alpha\).

Векторно: на стыке нужно сложить «входящие» \(B_1\) и \(B_3\) так, чтобы результирующее поле в клине было однородно и удовлетворяло непрерывности нормалей на обеих стенках. Геометрия равнобедренного клина с углом \(\alpha\) даёт

Направление в областях 2 и 4 — вдоль их биссектрис (по симметрии).

Осевая симметрия, нет \(\varphi\)-компоненты. Возьмём цилиндр радиуса \(r\) с осью на оси поля, между сечениями \(x\) и \(x+\Delta x\). Полный поток через его замкнутую поверхность нулевой: через торцы выходит \([B_x(x+\Delta x)-B_x(x)]\,\pi r^2=\Delta B_x\cdot\pi r^2\), через боковую поверхность — \(B_r\cdot2\pi r\,\Delta x\). Значит

а. \(B_x=B_0 x/x_0\) растёт равномерно: \(\Delta B_x/\Delta x=B_0/x_0\). Тогда при любом \(x\)

Угол наклона линий к оси: \(\operatorname{tg}\alpha=B_r/B_x=r/(2x)\) (знак — линии сходятся или расходятся в зависимости от знака \(B_0/x_0\)). Линии — параболы \(x=Cr^2\).

б. \(B_x=B_0(x/x_0)^n\): быстрота роста поля вдоль оси \(\Delta B_x/\Delta x=n B_0 x^{n-1}/x_0^n\) (производная степенной функции),

В общем случае \(B_x=B_0 f(x)\) в ту же формулу входит производная \(f'(x)\) — быстрота изменения \(f\):

Внутри цилиндра \(B_x=B_0 x/x_0\), как в 9.4.8а, поэтому на оси и внутри

На стенке \(r=R\)

(модуль \(B_0 R/(2x_0)\)). Нормальная компонента непрерывна, значит снаружи на стенке то же значение.

Снаружи \(B_x=0\): весь поток, вышедший из цилиндра, идёт радиально. Сравним два соосных цилиндра радиусов \(r>R\) одинаковой длины: осевого потока снаружи нет, поэтому радиальный поток через боковую поверхность один и тот же при любом \(r\), то есть \(B_r\cdot2\pi r=\mathrm{const}\). Следовательно

Сшивка при \(r=R\): \(C/R=B_r(R)\), \(C=B_r(R)\cdot R\),

а. Полубесконечный цилиндр с поперечным током \(i\). Вдали внутри \(B=\mu_0 i\), поток через сечение \(\Phi_\infty=\mu_0 i\cdot\pi R^2\). На торце \(B_\parallel=\mu_0 i/2\) (задача 9.3.10), поток через торец \(\Phi_{\text{торц}}=\mu_0 i\pi R^2/2\). Разность уходит через боковую поверхность:

Это и есть искомый поток через бок.

б. Длинный соленоид с током \(I\), \(n\) витков на единицу длины, \(i=nI\), поле внутри \(B=\mu_0 nI\). Разрежем пополам плоскостью через ось. На площадку разреза давит магнитное давление \(B^2/(2\mu_0)\). Сила притяжения половинок — это давление, умноженное на площадь диаметрального сечения \(2R\cdot L\), но на единицу длины... Для конечных «половинок» как двух полуцилиндров длина \(L\to\infty\), сила на всю длину бесконечна. Имеется в виду сила, с которой притягиваются две половины, разрезанные поперёк (два полубесконечных соленоида торец к торцу):

Да: поток через торец \(\Phi=B\pi R^2/2\) у каждого, энергия взаимодействия даёт ту же силу.

В месте стыка индукция \(B\) (вдоль оси). Снаружи у торца поле вдвое меньше (как у полубесконечного соленоида), но сила притяжения двух торцов считается по давлению в зазоре. Если зазор стремится к нулю, в щели \(B_{\text{щель}}=B\), давление

Сила отрыва \(F=pS=B^2 S/(2\mu_0)\), откуда

Эквивалент: каждый стержень — соленоид амперовых токов, сила между двумя полубесконечными соленоидами — задача 9.4.10б.

Один виток с током \(I\): при смещении вдоль оси на малое \(\Delta x\) работа магнитных сил равна \(I\,\Delta\Phi\), поэтому осевая сила на виток \(F=I\,\Delta\Phi/\Delta x\). Для участка соленоида длиной \(\Delta x\): в нём \(n\,\Delta x\) витков, и поток при переходе через участок меняется на \(\Delta\Phi\), значит на участок действует сила

Складывая по всем участкам от одного торца до другого (приращения потока набегают в полную разность),

где \(\Phi_1\) и \(\Phi_2\) — потоки, входящий и выходящий через торцы. Если потоки равны (однородное поле), сила нуль: соленоид не втягивается. Если с одного торца поле гуще, соленоид втягивается в сильное поле (при \(\mathbf{M}\uparrow\uparrow\mathbf{B}\)).

а. Два круговых контура радиусов \(r\) и \(R\) на одной оси, расстояние \(l\gg r,R\). Поле первого в месте второго — поле диполя на оси (9.2.16):

Поток через второй (поле однородно на масштабе \(R\), потому что \(l\gg R\))

Отсюда

В «Ответах» книги напечатано \(L=\mu_0\pi(rR)^2/l^3\) — потеряна двойка в знаменателе: поле диполя на оси несёт \(2\pi l^3\) в знаменателе, и после сокращения с \(\pi r^2\) момента половина обязана остаться. Симметрия \(r\leftrightarrow R\) на месте: \(L_{12}=L_{21}\).

б. Длинный соленоид радиуса \(r\), \(n\) витков на единицу длины. Поле внутри \(\mu_0 n I\), снаружи нуль. Круговой контур охватывает соленоид: через него проходит весь внутренний поток

От радиуса внешнего контура ответ не зависит — лишь бы он охватывал соленоид. Это поток «на один виток» внешнего контура.

Заряд равен изменению потока, делённому на сопротивление рамки; не забудьте, что при повороте на \(180^\circ\) поток меняет знак.

\(100\) мкКл.

Пока ток быстро нарастает, рамка неподвижна, и импульс силы Ампера выражается через \(\int I\,dI\). После этого тормозящая сила пропорциональна скорости рамки, поэтому \(m\,dv\) пропорционально \(dx/x^4\) — интегрируйте по пути, а не по времени.

\(v_1 = \dfrac{v_0}{3}\).

Пусть сторона рамки, параллельная проводу, равна \(a\), а перпендикулярная ей сторона равна \(b\). Введём ось \(Ox\) с началом на проводе перпендикулярно ему в направлении к рамке (см. рис. 1). Далее величина \(x\) везде обозначает расстояние между проводом и ближайшей к нему стороной рамки, которое изначально равнялось \(x_0\). Пусть сила тока в проводе равна \(I\). Тогда индукция создаваемого магнитного поля провода на расстоянии \(r\) от него направлена перпендикулярно горизонтальной поверхности на читателя и равна: \[B(I, r) = \frac{\mu_0I}{2\pi r},\] где \(\mu_0\) — магнитная постоянная.

Пусть \(I_1\) — величина силы тока в рамке в направлении против часовой стрелки при виде сверху. Равнодействующая сил Ампера, действующих на контур, составляет: \[F_x = I_1aB(I, x + b) - I_1aB(I, x).\]

Поскольку рамка выполнена из тонкой проволоки, а величины \(a\) и \(b\) во много раз меньше \(x_0\), то выражение для \(F_x\) можно приблизить следующим образом: \[F_x \approx \frac{\mu_0I_1Ia}{2\pi}\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)b = -\frac{\mu_0I_1Iab}{2\pi x^2}.\] Пусть \(R\) — сопротивление рамки, а \(\Phi\) — поток индукции магнитного поля, пронизывающего рамку. Поскольку индуктивностью рамки можно пренебречь, для силы тока \(I_1\) из закона электромагнитной индукции Фарадея находим: \[I_1 = -\frac{\dot\Phi}{R}.\] Поскольку рамка выполнена из тонкой проволоки, а величины \(a\) и \(b\) во много раз меньше \(x_0\), то индукцию магнитного поля провода можно считать постоянной по всей поверхности, натянутой на контур рамки, и равной \(B(x)\), поэтому \(\Phi \approx B(x)ab\). Тогда имеем: \[I_1 = -\frac{ab}{R}\frac{dB(x)}{dt} = -\frac{\mu_0ab}{2\pi R}\frac{d}{dt}\left(\frac{I}{x}\right),\] откуда: \[F_x = \left(\frac{\mu_0ab}{2\pi}\right)^2\frac{I}{Rx^2}\frac{d}{dt}\left(\frac{I}{x}\right).\] Рассмотрим увеличение силы тока в проводе. Поскольку это увеличение происходит очень быстро, движением рамки и её смещением за время увеличения силы тока в проводе до максимального значения можно пренебречь. Тогда для силы \(F_x\) имеем: \[F_x \approx \left(\frac{\mu_0ab}{2\pi}\right)^2\frac{I}{Rx^3}\frac{dI}{dt}.\] Пусть \(m\) и \(v_x\) — масса рамки и проекция её скорости на ось \(x\) соответственно. Из закона изменения импульса для рамки имеем: \[m\frac{dv_x}{dt} = \left(\frac{\mu_0ab}{2\pi}\right)^2\frac{I}{Rx^3}\frac{dI}{dt}.\] Умножим закон изменения импульса для рамки на \(dt\): \[m\,dv_x = \left(\frac{\mu_0ab}{2\pi}\right)^2\frac{I\,dI}{Rx^3}.\] Проинтегрируем полученное выражение, обозначив за \(I_0\) максимальную величину силы тока в проводе: \[\int\limits_0^{v_0}m\,dv_x = mv_0 = \int\limits_0^{I_0}\left(\frac{\mu_0ab}{2\pi}\right)^2\frac{I\,dI}{Rx_0^3} = \left(\frac{\mu_0abI_0}{2\pi}\right)^2\frac{1}{2Rx_0^3}.\] Отметим, что рамка начинает удаляться от провода после достижения в нём максимального значения силы тока.

Проанализируем дальнейшее движение рамки. Для этого получим выражение для силы \(F_x\) при постоянном значении силы тока в проводе \(I = I_0\): \[F_x = \left(\frac{\mu_0abI_0}{2\pi}\right)^2\frac{1}{Rx^2}\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{x}\right) = -\left(\frac{\mu_0abI_0}{2\pi}\right)^2\frac{1}{Rx^4}\frac{dx}{dt}.\] Запишем закон изменения импульса для рамки: \[m\frac{dv_x}{dt} = -\left(\frac{\mu_0abI_0}{2\pi}\right)^2\frac{1}{Rx^4}\frac{dx}{dt}.\] Умножим закон изменения импульса для рамки на \(dt\): \[m\,dv_x = -\left(\frac{\mu_0abI_0}{2\pi}\right)^2\frac{dx}{Rx^4}.\] Проинтегрируем полученное выражение в предположении, что рамка удаляется бесконечно далеко от провода, обозначив за \(v_{1x}\) проекцию скорости рамки на ось \(x\) на бесконечном удалении от провода. Поскольку скорость рамки уменьшается, предположение окажется оправданным в том случае, если величина \(v_{1x}\) окажется положительной. Имеем: \[m(v_{1x} - v_0) = -\frac{1}{R}\left(\frac{\mu_0abI_0}{2\pi}\right)^2\int\limits_{x_0}^{\infty}\frac{dx}{x^4} = -\frac{1}{3Rx_0^3}\left(\frac{\mu_0abI_0}{2\pi}\right)^2 = -\frac{2mv_0}{3}.\] Отсюда: \[v_{1x} = \frac{v_0}{3}.\] Поскольку \(v_{1x} > 0\), рамка в процессе движения после достижения силой тока в проводе максимального значения никогда не останавливалась, а значит, полученное значение является ответом на вопрос задачи. Если бы величина \(v_{1x}\) оказалась отрицательной, то скорость рамки и расстояние между рамкой и проводом асимптотически стремились бы к нулю и к постоянному значению соответственно. Таким образом: \[v_1 = \frac{v_0}{3}.\]

Тангенциальная сила Лоренца на участке кольца пропорциональна проекции этого участка на границу: просуммируйте её и свяжите приращение угловой скорости с приращением магнитного потока через кольцо. Сила Лоренца работы не совершает.

1) \(\omega = \dfrac{\pi\lambda BR}{m}\);  2) \(v_{\min} = \dfrac{\sqrt5\,\pi\lambda BR^2}{m}\);  3) \(\theta = \arctan\sqrt{\left(\dfrac{mv_0}{2\pi\lambda BR^2}\right)^2 - \dfrac54}\);  4) \(y_{\max} = \sqrt{\left(\dfrac{mv_0}{2\pi\lambda RB}\right)^2 - \dfrac{R^2}{4}}\).

На участки кольца, находящиеся в магнитном поле, действует сила Лоренца, перпендикулярная вектору \(\vec B\) и вектору скорости участка кольца. Можно рассматривать движение кольца как наложение поступательного движения в направлении вдоль границы со скоростью \(v_x\), поступательного движения перпендикулярно границе со скоростью \(v_y\) и вращения с угловой скоростью \(\omega\).

Из-за поступательного движения в направлении \(y\) возникает момент силы Лоренца, раскручивающий кольцо. Этот момент сил исчезает только после того, как кольцо полностью окажется в области поля. Сумма сил Лоренца, действующих на участки в области поля, связанная с движением вдоль \(y\), направлена вдоль границы и изменяет значение \(v_x\).

Силы Лоренца, связанные с поступательным движением вдоль оси \(x\), изменяют скорость \(v_y\), но не создают момента сил, раскручивающих кольцо. Силы Лоренца, возникающие из-за вращательного движения кольца, как легко убедиться, действуют только вдоль \(y\) и не влияют на движение вдоль \(x\).

Рассмотрим тангенциальную составляющую силы Лоренца, действующую на участок кольца длины \(\Delta l\), связанную с \(v_y\). Она равна \(\lambda\Delta l Bv_y\cos\varphi\), где \(\varphi\) — угол между этим участком и осью \(x\). Величина \(\Delta l\cos\varphi\) представляет собой проекцию этого участка на \(x\), а сумма тангенциальных составляющих для всех участков, находящихся в области магнитного поля, будет равна \(\lambda l_xBv_y\), где \(l_x\) — длина хорды, стягивающей концы участка кольца, находящегося в области поля. Тогда \[mR\frac{d\omega}{dt} = \lambda Bv_yl_x.\] После домножения обеих частей уравнения на \(dt\), с учётом того, что \(v_y\,dt = dy\), а \(l_x\,dy = dS\), где \(dS\) — дополнительная площадь кольца, которая оказывается в области поля за время \(dt\), получаем \[mR\,d\omega = \lambda\cdot d\Phi,\] где \(d\Phi\) — прирост потока магнитного поля через плоскость кольца.

Если кольцо полностью окажется в области магнитного поля, его угловая скорость вращения будет равна \[\omega = \frac{\pi\lambda BR}{m}.\] Итак, ответ на первый вопрос задачи: \(\omega = \dfrac{\pi\lambda BR}{m}\).

Как отмечалось выше, вращение не влияет на проекцию скорости \(v_x\), её изменение целиком определяется \(y\)-проекцией скорости центра и зарядом той части кольца (дуги длины \(l\)), которая находится в поле. \[m\frac{dv_x}{dt} = \lambda lBv_y.\] Пусть \(y\) — координата точки кольца, наиболее удалённой от границы. Другими словами, это расстояние, на которое сместилось кольцо в направлении \(y\) от начала движения. Тогда \(l = 2R\arccos\left(\dfrac{R-y}{R}\right)\). Далее \[m\frac{dv_x}{dt} = 2\lambda BRv_y\arccos\left(\frac{R-y}{R}\right).\]

Домножив на \(dt\), переходим к интегралу \[v_x = \frac{2\lambda BR}{m}\int_0^{2R}\arccos\left(\frac{R-y}{R}\right)dy = \frac{2\pi\lambda BR^2}{m}.\] Теперь воспользуемся законом сохранения энергии, учитывая тот факт, что сила Лоренца работы не совершает и кинетическая энергия кольца в любой момент времени равна начальной. \[\frac{mv_0^2}{2} = \frac{mv_x^2}{2} + \frac{mv_y^2}{2} + \frac{mR^2\omega^2}{2}.\] Для ответа на второй вопрос задачи положим в этом выражении \(v_y = 0\) и воспользуемся результатом ответа на первый пункт для угловой скорости. Тогда \[v_{\min}^2 = v_x^2 + R^2\omega^2 = 5\left(\frac{\pi\lambda BR^2}{m}\right)^2, \qquad v_{\min} = \frac{\sqrt5\,\pi\lambda BR^2}{m}.\] Поскольку \(v_x\) уже найдено, то для ответа на третий вопрос достаточно определить проекцию \(v_y\) в момент, когда кольцо целиком окажется в поле.

Из закона сохранения энергии находим: \(v_y = \sqrt{v_0^2 - v_x^2 - \omega^2R^2} = \sqrt{v_0^2 - v_{\min}^2}\). Для тангенса искомого угла: \(\tan\theta = v_y/v_x\). Следовательно, \[\tan\theta = \frac{\sqrt{v_0^2 - v_{\min}^2}}{v_x} = \sqrt{\left(\frac{mv_0}{2\pi\lambda BR^2}\right)^2 - \frac54}, \qquad \theta = \arctan\sqrt{\left(\frac{mv_0}{2\pi\lambda BR^2}\right)^2 - \frac54}.\] С момента, когда кольцо целиком оказывается в области поля, его угловая скорость перестаёт меняться и центр кольца движется как точечный заряд \(q = 2\pi R\lambda\) со скоростью, проекции которой равны значениям \(v_x\) и \(v_y\) в момент пересечения границы области последней точкой кольца. С этого момента \[m\frac{dv_x}{dt} = 2\pi\lambda RBv_y.\] После уже традиционного домножения на \(dt\) и интегрирования получаем \[\Delta y = \frac{m\Delta v_x}{2\pi\lambda RB}.\] Здесь \(\Delta y\) — изменение \(y\)-координаты центра от момента полного вхождения в поле до момента максимального удаления центра от границы, \(\Delta v_x\) — соответствующее этим моментам времени изменение проекции скорости.

\(v_x\) в момент максимального удаления можно найти из закона сохранения энергии: \[v_x = \sqrt{v_0^2 - \left(\frac{\pi\lambda BR^2}{m}\right)^2}.\] Тогда \[\Delta v_x = \sqrt{v_0^2 - \left(\frac{\pi\lambda BR^2}{m}\right)^2} - \frac{2\pi\lambda BR^2}{m}.\] Искомое максимальное удаление: \[y_{\max} = R + \frac{m\Delta v_x}{2\pi\lambda RB} = \sqrt{\left(\frac{mv_0}{2\pi\lambda RB}\right)^2 - \frac{R^2}{4}}.\]