Диаметр молекулы
6/10При атмосферном давлении и температуре 0 °C длина свободного пробега молекулы водорода равна 0,1 мкм. Оцените диаметр этой молекулы.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Молекула «заметает» цилиндр сечением \(\pi d^2\) (столкновение происходит, когда центры сближаются до \(d\)). За время между столкновениями в этом цилиндре оказывается ровно одна молекула.\[ \pi d^2\,\lambda\,n\,\sqrt2 = 1 \quad\Longrightarrow\quad d = \sqrt{\frac{1}{\sqrt2\,\pi\,n\,\lambda}} \](множитель \(\sqrt2\) учитывает, что «мишени» тоже движутся). При нормальных условиях \(n = 2{,}7\cdot10^{25}\) м⁻³, \(\lambda = 10^{-7}\) м:
\[ d = \sqrt{\frac{1}{1{,}41\cdot3{,}14\cdot2{,}7\cdot10^{25}\cdot10^{-7}}} = \sqrt{8{,}3\cdot10^{-20}}, \qquad \boxed{d \approx 0{,}3\ \text{нм}} \]Проверка. 0,3 нм — типичный размер молекулы ✓ (справочное «газокинетическое» значение для водорода 0,27 нм). Отношение \(\lambda/d = 10^{-7}/3\cdot10^{-10}\approx330\) ✓ — молекула пролетает сотни своих размеров между столкновениями; газ действительно «разрежен». Среднее расстояние между молекулами \(n^{-1/3}=3{,}3\) нм ✓ — вдесятеро больше размера молекулы и в 30 раз меньше пробега; знакомая иерархия. Размерность ✓.Ответ \(d\approx0{,}3\) нм.Длина пробега в воздухе
6/10Оцените длину свободного пробега молекулы азота в воздухе при нормальных условиях. Радиус молекул азота и кислорода принять равным 0,18 нм.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Та же формула, только теперь ищем \(\lambda\). Радиусы азота и кислорода одинаковы, поэтому весь воздух можно считать одним газом с \(d = 2R = 0{,}36\) нм.\[ \lambda = \frac{1}{\sqrt2\,\pi d^2 n} = \frac{1}{1{,}41\cdot3{,}14\cdot(3{,}6\cdot10^{-10})^2\cdot2{,}7\cdot10^{25}}. \] \[ \pi d^2 = 4{,}07\cdot10^{-19}\ \text{м}^2, \qquad \lambda = \frac{1}{1{,}55\cdot10^{7}} \approx 6{,}4\cdot10^{-8}\ \text{м}. \] \[ \boxed{\lambda \approx 60\ \text{нм}} \]Проверка. Справочное значение для воздуха при н. у. — 68 нм ✓. Число столкновений одной молекулы в секунду: \(\bar v/\lambda = 450/6{,}4\cdot10^{-8} \approx7\cdot10^{9}\) с⁻¹ ✓ — семь миллиардов раз в секунду. Пробег обратно пропорционален давлению ✓: в вакууме \(10^{-3}\) Па он вырастет до 6 м, и молекулы летают от стенки до стенки — это режим Кнудсена. Размерность ✓.Ответ \(\lambda\approx60\) нм.Сколько столкновений
6/10Оцените, сколько раз за 1 с в 1 см³ воздуха сталкиваются молекулы азота друг с другом и молекулы азота с молекулами кислорода.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Число столкновений в единице объёма — это «концентрация × концентрация × сечение × относительная скорость». Для пар одинаковых молекул надо ещё поделить на 2, чтобы не считать каждое столкновение дважды.Данные. \(n = 2{,}7\cdot10^{25}\) м⁻³, азота 78 % \((n_1 = 2{,}1\cdot10^{25}\) м⁻³), кислорода 21 % \((n_2 = 5{,}7\cdot10^{24}\) м⁻³); \(\pi d^2 = 4{,}07\cdot10^{-19}\) м²; \(\bar v_{\text{N}_2} = 454\) м/с, относительная скорость одинаковых молекул \(\sqrt2\,\bar v\).
Азот с азотом.
\[ \nu_1 = \frac12\,n_1^2\,\pi d^2\,\sqrt2\,\bar v = \frac{4{,}41\cdot10^{50}\cdot4{,}07\cdot10^{-19}\cdot642}{2} \approx 5{,}8\cdot10^{34}\ \frac{1}{\text{м}^3\text{с}}, \] \[ \boxed{\nu_1 \approx 6\cdot10^{28}\ \text{см}^{-3}\text{с}^{-1}} \]Азот с кислородом (делить на 2 не надо — молекулы разные; относительная скорость почти та же):
\[ \nu_2 = n_1 n_2\,\pi d^2\,\bar v_{\text{отн}} = 2{,}1\cdot10^{25}\cdot5{,}7\cdot10^{24}\cdot4{,}07\cdot10^{-19}\cdot622, \] \[ \boxed{\nu_2 \approx 3\cdot10^{28}\ \text{см}^{-3}\text{с}^{-1}} \]Проверка. Отношение \(\nu_1/\nu_2 = 2\) ✓: \(n_1/(2n_2) = 2{,}1/(2\cdot0{,}57)\approx1{,}8\), и с поправкой на относительные скорости получается около двух ✓. Проверка через «на одну молекулу»: \(2\nu_1/n_1 = 5{,}5\cdot10^{9}\) с⁻¹ ✓ — согласуется с оценкой \(\bar v/\lambda\) из задачи 5.3.2. Порядок \(10^{28}\) в кубическом сантиметре за секунду ✓ — трудновообразимое число, но именно оно обеспечивает мгновенное установление равновесия в газе.Ответ \(\nu_1\approx6\cdot10^{28}\), \(\nu_2\approx3\cdot10^{28}\) с⁻¹·см⁻³.Как меняется число столкновений
6/10Плотность газа увеличили в три раза, а температуру уменьшили в четыре раза. Как изменилось число столкновений молекул в единицу времени?
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Число столкновений одной молекулы в секунду \(\nu = \sqrt2\,\pi d^2 n\bar v\), а \(\bar v\propto\sqrt T\). Всё остальное не меняется.\[ \nu \propto n\sqrt T \quad\Longrightarrow\quad \frac{\nu'}{\nu} = 3\cdot\sqrt{\frac14} = \frac32. \] \[ \boxed{\text{Увеличилось в 1,5 раза}} \]Проверка. Плотность работает «в полную силу», температура — лишь корнем ✓. Если бы речь шла о полном числе столкновений в единице объёма, ответ был бы \(n^2\sqrt T = 9/2 = 4{,}5\) ✓ — вчетверо больше; поэтому важно, что спрашивают. Проверка предельным случаем: при неизменной температуре число столкновений росло бы ровно как плотность ✓. Длина свободного пробега при этом уменьшилась втрое ✓ и от температуры не зависит.Ответ Увеличилось в 1,5 раза.Пробег в смеси
6/10В сосуде находится смесь двух газов. В единице объёма смеси содержится \(n_1\) молекул одного газа и \(n_2\) молекул другого. Радиус молекул соответственно \(R_1\) и \(R_2\). Оцените длину свободного пробега молекул этих газов.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Вероятности столкновений с «своими» и с «чужими» просто складываются, поэтому складываются и обратные длины пробега.Сечения. Столкновение молекулы 1 со «своей» — при сближении центров до \(2R_1\), сечение \(\pi(2R_1)^2 = 4\pi R_1^2\); с «чужой» — при сближении до \(R_1+R_2\), сечение \(\pi(R_1+R_2)^2\).
Складываем. (Множители порядка единицы, связанные с относительными скоростями, в оценке опускаем.)
\[ \boxed{\lambda_1 \sim \frac{1}{\pi\left[4R_1^2 n_1 + (R_1+R_2)^2n_2\right]}} \] \[ \boxed{\lambda_2 \sim \frac{1}{\pi\left[4R_2^2 n_2 + (R_1+R_2)^2n_1\right]}} \]Проверка. При \(n_2=0\) остаётся \(\lambda_1 = 1/(4\pi R_1^2n_1)\) ✓ — обычный однокомпонентный газ (с точностью до \(\sqrt2\)). При \(R_1=R_2=R\) обе формулы дают \(1/(4\pi R^2(n_1+n_2))\) ✓ — как и должно быть, смесь одинаковых по размеру молекул неотличима от одного газа. Формулы симметричны при обмене индексов ✓. Тяжёлая примесь с крупными молекулами резко укорачивает пробег лёгкого газа ✓ — именно поэтому даже малая добавка пыли или пара заметно меняет перенос. Размерность: 1/(м²·м⁻³) = м ✓.Ответ \(\lambda_{1,2}\sim\pi^{-1}\left[4R_{1,2}^2n_{1,2}+(R_1+R_2)^2n_{2,1}\right]^{-1}\).Задача 5.3.6
6/10При нормальных условиях в 1 см³ атомарного водорода содержится \(2{,}7\cdot10^{19}\) атомов. Оцените время, в течение которого 0,1 часть атомов водорода превращается в молекулы водорода. Считать, что каждое столкновение двух атомов водорода приводит к образованию молекулы. Радиус атома водорода 0,06 нм.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Если каждое столкновение «срабатывает», то доля прореагировавших атомов за время \(t\) равна просто числу столкновений на атом, \(\nu t\). Осталось найти \(\nu\).Скорость атома водорода \((\mu = 1\) г/моль, \(T=273\) К\()\):
\[ \bar v = \sqrt{\frac{8RT}{\pi\mu}} = \sqrt{\frac{8\cdot8{,}31\cdot273}{\pi\cdot10^{-3}}} \approx 2400\ \text{м/с}. \]Частота столкновений \((d = 2r = 0{,}12\) нм\()\):
\[ \nu = \sqrt2\,\pi d^2 n\,\bar v = 1{,}41\cdot4{,}52\cdot10^{-20}\cdot2{,}7\cdot10^{25}\cdot2400 \approx 4\cdot10^{9}\ \text{с}^{-1}. \]Время. За время \(t\) прореагирует доля \(\approx\nu t\); приравняв 0,1:
\[ t \approx \frac{0{,}1}{\nu} = \frac{0{,}1}{4\cdot10^{9}} \approx 2{,}5\cdot10^{-11}\ \text{с}. \] \[ \boxed{t \approx 30\ \text{пс}} \]Проверка. Тридцать пикосекунд ✓ — атомарный водород при атмосферном давлении живёт ничтожно мало, поэтому его получают и хранят только в сильно разреженном виде. Размерность ✓; доля 0,1 достаточно мала, чтобы можно было пренебречь убылью \(n\) ✓ (иначе пришлось бы решать \(dn/dt=-\nu n\)). В действительности для образования молекулы нужен «третий партнёр», уносящий энергию связи ✓; поэтому реальное время больше — но задача сознательно берёт идеализированный случай.Ответ \(t\approx30\) пс.Задача 5.3.7
6/10Определите отношение числа молекул вида \(A_2\), \(B_2\) к числу молекул вида \(AB\), если в смеси при столкновениях происходят реакции \(A_2+B_2\to 2AB\) и \(AB+AB\to A_2+B_2\). Число атомов \(A\) равно числу атомов \(B\), радиусы молекул \(A_2\), \(B_2\), \(AB\) равны соответственно \(r_{A_2}\), \(r_{B_2}\), \(r_{AB}\), масса молекул одинакова.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея В равновесии обе реакции идут с одинаковой скоростью. А скорость каждой — это «число подходящих столкновений в единицу времени», то есть произведение концентраций на сечение. Массы одинаковы, значит все относительные скорости одинаковы и сокращаются.Концентрации. Атомов \(A\) и \(B\) поровну, поэтому \(n_{A_2}=n_{B_2}\equiv x\).
Скорости реакций.
\[ \nu_1 = x^2\,\pi(r_{A_2}+r_{B_2})^2\,\bar v_{\text{отн}}, \qquad \nu_2 = \frac12\,n_{AB}^2\,\pi(2r_{AB})^2\,\bar v_{\text{отн}}. \](В \(\nu_2\) множитель \(1/2\) — потому что сталкиваются одинаковые молекулы.)
Равновесие \(\nu_1=\nu_2\):
\[ x^2(r_{A_2}+r_{B_2})^2 = 2\,n_{AB}^2\,r_{AB}^2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x}{n_{AB}} = \frac{\sqrt2\,r_{AB}}{r_{A_2}+r_{B_2}}. \]Молекул вида \(A_2\) и \(B_2\) вместе \(2x\), поэтому
\[ \boxed{\frac{n_{A_2}+n_{B_2}}{n_{AB}} = \frac{2\sqrt2\,r_{AB}}{r_{A_2}+r_{B_2}}} \]Проверка. Если все радиусы равны, отношение \(2\sqrt2/2=\sqrt2\) ✓ — не единица! Смещение в пользу \(A_2,B_2\) возникает из-за множителя \(1/2\) в реакции одинаковых молекул: паре \(AB+AB\) труднее «встретиться» ✓. Ответ не зависит ни от температуры, ни от полной концентрации ✓ — как и положено равновесию, определяемому только сечениями. Ответ безразмерен ✓. Чем крупнее \(AB\), тем чаще они сталкиваются и тем меньше их остаётся ✓ — логично.Ответ \((n_{A_2}+n_{B_2})/n_{AB} = 2\sqrt2\,r_{AB}/(r_{A_2}+r_{B_2})\).Поток и диффузия
6/10а. Относительное содержание радиоактивных атомов в газе невелико. Их число в единице объёма линейно растёт с высотой: \(n = \alpha h\). Масса атома \(m\), длина его свободного пробега \(\lambda\), температура \(T\). Оцените плотность потока этих атомов на землю.
б. Оцените коэффициент диффузии водяного пара в воздухе при 20 °C. Радиус молекул воды 0,21 нм, радиус молекул азота и кислорода 0,18 нм.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Через горизонтальную площадку сверху вниз летят атомы, которые в последний раз столкнулись примерно на \(\lambda\) выше; снизу вверх — те, что столкнулись на \(\lambda\) ниже. Разность концентраций на этих двух уровнях и даёт поток.а. Плотность потока в одну сторону через площадку — примерно \(\bar v_z n/2\), где \(\bar v_z\sim\sqrt{kT/m}\). Сверху приходят атомы «с уровня» \(h+\lambda\), снизу — «с уровня» \(h-\lambda\):
\[ W = \frac{\bar v_z}{2}\,n_{h+\lambda} - \frac{\bar v_z}{2}\,n_{h-\lambda} = \frac{\bar v_z}{2}\,\alpha\big[(h+\lambda)-(h-\lambda)\big], \] \[ \boxed{W \approx \alpha\,\lambda\,\sqrt{\frac{kT}{m}}} \]Высота \(h\) выпала — поток одинаков на всех высотах, как и должно быть в стационарном режиме.
б. Тот же вывод, записанный через градиент, даёт закон Фика \(W=-D\,dn/dh\) с
\[ D \approx \frac13\,\lambda\,\bar v. \]Для водяного пара в воздухе \(d = r_{\text{H}_2\text{O}}+r_{\text{возд}} = 0{,}39\) нм; при 20 °C \(n = 2{,}5\cdot10^{25}\) м⁻³:
\[ \lambda \approx \frac{1}{\pi d^2 n} = \frac{1}{4{,}8\cdot10^{-19}\cdot2{,}5\cdot10^{25}} \approx 8\cdot10^{-8}\ \text{м}, \] \[ \bar v_{\text{H}_2\text{O}} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi\mu}} = \sqrt{\frac{8\cdot8{,}31\cdot293}{\pi\cdot0{,}018}} \approx 590\ \text{м/с}, \] \[ D \approx \frac13\cdot8\cdot10^{-8}\cdot590 \approx 1{,}6\cdot10^{-5}\ \frac{\text{м}^2}{\text{с}}. \] \[ \boxed{D \approx 2\cdot10^{-5}\ \text{м}^2/\text{с} \approx 0{,}2\ \text{см}^2/\text{с}} \]Проверка. Табличное значение для водяного пара в воздухе при 20 °C — \(0{,}24\) см²/с ✓, оценка отличается меньше чем в полтора раза — отлично для «с точностью до множителя порядка единицы». Размерность \(\lambda\bar v\): м·м/с = м²/с ✓. Оценим, за какое время пар пройдёт метр: \(t\sim L^2/D = 1/2\cdot10^{-5} = 5\cdot10^4\) с \(\approx14\) ч ✓ — диффузия чудовищно медленна, всё в комнате переносит конвекция. В пункте а поток пропорционален \(\lambda\) ✓, то есть обратно пропорционален плотности газа: в разреженной атмосфере атомы падают быстрее.Ответ а. \(W\approx\alpha\lambda\sqrt{kT/m}\). б. \(D\approx2\cdot10^{-5}\) м²/с.Примечание. В «Ответах» книги напечатано «\(D\approx12\) мкм/с» — по-видимому, опечатка в единицах: коэффициент диффузии измеряется в м²/с, и должно быть \(D\approx12\ \text{мм}^2/\text{с}=1{,}2\cdot10^{-5}\ \text{м}^2/\text{с}\) (та же оценка, только с множителем \(\sqrt2\) в длине пробега). С нашим \(D\approx2\cdot10^{-5}\) м²/с это согласуется.Диффузия в смеси
6/10Коэффициент диффузии молекул \(A\) в газах \(B_1\) и \(B_2\) равен соответственно \(D_1\) и \(D_2\), если в единице объёма этих газов содержится \(n\) частиц. Найдите коэффициент диффузии молекул \(A\) в смеси газов, в единице объёма которой содержится \(n_1\) молекул газа \(B_1\) и \(n_2\) молекул газа \(B_2\).
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея \(D\propto\lambda\), а обратные длины пробега складываются. Значит складываются и обратные коэффициенты диффузии — как сопротивления, соединённые последовательно.Пробеги. В чистом газе \(B_i\) с концентрацией \(n\): \(1/\lambda_i = n\sigma_i\), поэтому \(D_i = \tfrac13\bar v/(n\sigma_i)\).
В смеси \(1/\lambda = n_1\sigma_1+n_2\sigma_2\), значит
\[ \frac1D = \frac{3}{\bar v}\left(n_1\sigma_1+n_2\sigma_2\right) = \frac{n_1}{n D_1}+\frac{n_2}{n D_2}, \] \[ \boxed{D = \frac{n\,D_1D_2}{n_1D_2+n_2D_1}} \]Проверка. При \(n_2=0\), \(n_1=n\) получаем \(D=D_1\) ✓; при \(n_1=0\) — \(D=D_2\) ✓. Формула — «правило параллельных сопротивлений наоборот» ✓: чем больше мешающих молекул, тем меньше \(D\). Если \(n_1+n_2 = n\) (та же полная плотность), то \(1/D\) — взвешенное среднее \(1/D_1\) и \(1/D_2\) ✓, и \(D\) лежит между \(D_1\) и \(D_2\) ✓. Размерность ✓; ответ линейно однороден по \(n\) ✓ — удвоив все концентрации, вдвое уменьшим \(D\).Ответ \(D = nD_1D_2/(n_1D_2+n_2D_1)\).Задача 5.3.10
6/10В тонком сосуде длины \(L\) и сечения \(S\) находится сухой воздух, изолированный заслонкой от воздуха с насыщенным водяным паром. Температура дна сосуда поддерживается ниже 0 °C. Заслонку убирают. Оцените время, за которое в сосуде установится стационарное состояние пара. Определите массу воды, замораживаемой в единицу времени в стационарном режиме. Коэффициент диффузии насыщенного пара \(D\), его плотность \(\rho\).
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеСверху — насыщенный пар плотности \(\rho\), на дне лёд, где пар вымерзает и его плотность практически нулевая. Между ними — стационарная диффузия. Идея Диффузия — это «случайное блуждание»: чтобы пройти расстояние \(L\), нужно время \(\sim L^2/D\). А в установившемся режиме поток задаётся законом Фика с готовым градиентом \(\rho/L\).Время установления. При диффузии смещение растёт как \(\sqrt{Dt}\):
\[ L \sim \sqrt{D\,t} \quad\Longrightarrow\quad \boxed{t \sim \frac{L^2}{D}} \]Стационарный поток. Наверху плотность пара \(\rho\) (насыщенный), у дна пар вымерзает и его плотность практически нулевая. Градиент \(\rho/L\), закон Фика:
\[ \frac{\Delta m}{\Delta t} = D\,S\,\frac{\rho}{L}, \qquad \boxed{\frac{\Delta m}{\Delta t} = \frac{D S\rho}{L}} \]Проверка. Размерности: \(L^2/D\) — с ✓; \(DS\rho/L\) — (м²/с)(м²)(кг/м³)/м = кг/с ✓. Числом: \(L=10\) см, \(S=1\) см², \(D=2\cdot10^{-5}\) м²/с, \(\rho=17\) г/м³ (насыщенный пар при 20 °C): \(t\sim500\) с ✓ (около 8 минут), \(\Delta m/\Delta t = 2\cdot10^{-5}\cdot10^{-4}\cdot0{,}017/0{,}1 = 3{,}4\cdot10^{-10}\) кг/с ✓ — примерно 30 мкг в сутки; вымерзание идёт очень медленно, что и наблюдается в опытах с холодным дном. В ответах задачника напечатано \(t\approx L/D\) — это опечатка: такое выражение даже по размерности не время ✓.Ответ \(t\sim L^2/D\); \(\Delta m/\Delta t = DS\rho/L\).Теплопроводность
6/10а. Температура воздуха линейно растёт с высотой: \(T = T_0+\alpha h\), причём \(\alpha h/T_0\ll1\). Длина свободного пробега молекул \(\lambda\), масса каждой молекулы \(m\), число молекул в единице объёма \(n\). Оцените плотность теплового потока на Землю. Изменится ли она, если увеличить \(n\)?
б. Во сколько раз теплопроводность водорода больше теплопроводности воздуха? Радиус молекул водорода 0,14 нм, радиус молекул азота и кислорода 0,18 нм. Температура газов одинакова.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Точно как в задаче 5.3.8, но переносят молекулы не «себя», а энергию: сверху приходят молекулы с уровня \(h+\lambda\), где температура выше, снизу — с уровня \(h-\lambda\).а. Через площадку в каждую сторону летит \(n\bar v_z/2\) молекул, каждая несёт энергию \(\sim kT\) своего уровня:
\[ W \sim \frac{n\bar v_z}{2}\,k\left[T(h+\lambda)-T(h-\lambda)\right] = \frac{n\bar v_z}{2}\,k\cdot2\alpha\lambda, \] \[ \boxed{W \sim n\,\alpha\,\lambda\,k\sqrt{\frac{kT_0}{m}}} \]Зависит ли от \(n\)? Нет: \(\lambda\propto1/n\), поэтому произведение \(n\lambda\) от плотности не зависит. Теплопроводность газа не зависит от давления — знаменитый результат Максвелла.
б. Записав \(\varkappa \sim n\lambda k\bar v \sim k\bar v/(\pi d^2)\), видим, что
\[ \varkappa \propto \frac{\bar v}{d^2} \propto \frac{1}{\sqrt\mu\,d^2}. \] \[ \frac{\varkappa_{\text{H}_2}}{\varkappa_{\text{возд}}} = \sqrt{\frac{29}{2}}\left(\frac{0{,}36}{0{,}28}\right)^2 = 3{,}81\cdot1{,}65, \qquad \boxed{\approx 6{,}3\ \text{раза}} \]Проверка. Табличные значения при 0 °C: \(\varkappa_{\text{H}_2}=0{,}17\), \(\varkappa_{\text{возд}}=0{,}024\) Вт/(м·К), отношение 7 ✓ — оценка хороша; в «Ответах» книги стоит \(6{,}2\) — то же с точностью до округления радиусов. Независимость от давления ✓ подтверждена опытом и нарушается лишь в сильном вакууме, когда \(\lambda\) становится больше размеров сосуда — на этом основан термос ✓. Именно из-за высокой теплопроводности водорода и гелия в них так быстро остывают тела ✓, и поэтому же водородом охлаждают мощные генераторы. Размерность \(W\): (м⁻³)(К/м)(м)(Дж/К)(м/с) = Вт/м² ✓.Ответ а. \(W\sim n\alpha\lambda k\sqrt{kT_0/m}\); от \(n\) не зависит. б. Примерно в \(6{,}3\) раза.Тепло через окна
6/10Оцените тепловой поток из комнаты размерами \(5\times5\times4\) м наружу через два окна с рамами площади \(1{,}5\times2{,}0\) м, расположенными на расстоянии 0,2 м друг от друга, и время, за которое температура в комнате уменьшится на 1 °C, если температура комнатного воздуха \(+20\) °C, а наружного \(-20\) °C. Почему тепловой поток через окна всегда значительно больше?
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Между стёклами — слой воздуха толщины 0,2 м. Если бы он был неподвижен, тепло шло бы через него только теплопроводностью. Считаем этот идеализированный поток и сравниваем с реальностью.Поток. \(\varkappa_{\text{возд}}\approx0{,}025\) Вт/(м·К), \(A = 2\cdot1{,}5\cdot2{,}0 = 6\) м², \(\Delta T = 40\) К, \(d = 0{,}2\) м:
\[ W = \varkappa\,\frac{A\,\Delta T}{d} = 0{,}025\cdot\frac{6\cdot40}{0{,}2} \approx 30\ \text{Вт}. \] \[ \boxed{W \sim 10\ldots30\ \text{Вт}} \]Время остывания на 1 К. Масса воздуха \(M = 100\ \text{м}^3\cdot1{,}3\ \text{кг/м}^3 = 130\) кг, удельная теплоёмкость \(c\approx10^3\) Дж/(кг·К):
\[ t = \frac{cM\Delta T}{W} = \frac{10^3\cdot130\cdot1}{30} \approx 4\cdot10^{3}\ \text{с} \approx 1\ \text{ч}. \] \[ \boxed{t \sim 1\ldots2\ \text{часа}} \]Почему на самом деле больше. Воздух между стёклами не покоится: у тёплого стекла он нагревается, поднимается, у холодного остывает и опускается — возникает конвекция, которая переносит тепло на порядок эффективнее молекулярной теплопроводности. Кроме того, через стёкла идёт тепловое излучение, а рамы имеют щели.
Проверка. Реальные теплопотери через окно такого размера — сотни ватт ✓, то есть в 10–30 раз больше нашей оценки; это и есть мера вклада конвекции и излучения. Именно поэтому в стеклопакетах зазор делают малым (10–16 мм): при малой толщине конвекция подавляется, а поток теплопроводности растёт, и есть оптимум ✓. Заполнение аргоном уменьшает \(\varkappa\) ✓, а низкоэмиссионное покрытие режет излучение ✓ — оба приёма используются в современных окнах. Размерности ✓; проверка оценки \(cM\): нагреть комнату на 1 К стоит 130 кДж ✓.Ответ \(W\sim10\ldots30\) Вт, \(t\sim1\ldots2\) ч. Реально поток намного больше из-за конвекции воздуха (и излучения).Задача 5.3.13
6/10Теплопроводность газов \(A_1\) и \(A_2\) равна соответственно \(\varkappa_1\) и \(\varkappa_2\). Определите теплопроводность смеси, в которой молекул газа \(A_1\) в \(\alpha\) раз больше, чем молекул газа \(A_2\). Температура газов одинакова, газы одноатомные. Молярная масса газов \(\mu_1\) и \(\mu_2\).
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Каждый сорт молекул несёт тепло сам по себе, поэтому вклады складываются. Но в смеси длина пробега каждого сорта короче: мешают и «свои», и «чужие».Вклад одного сорта. \(\varkappa_i^{\text{см}} = \tfrac13 n_i\bar v_i\lambda_i\,c\), где \(c=\tfrac32k\) — теплоёмкость одной молекулы, а
\[ \frac1{\lambda_1} = \sqrt2\,n_1\sigma_{11}+n_2\sigma_{12}\sqrt{1+\frac{\mu_1}{\mu_2}}, \qquad \sigma_{ij}=\pi(r_i+r_j)^2. \]В чистом газе было \(1/\lambda_1^{(0)}=\sqrt2\,n\sigma_{11}\), поэтому
\[ \varkappa_1^{\text{см}} = \frac{\varkappa_1}{\,1+\dfrac{n_2}{n_1}\cdot \dfrac{\sigma_{12}}{\sqrt2\,\sigma_{11}}\sqrt{1+\mu_1/\mu_2}\,}, \]и симметрично для второго сорта. Радиусы выражаются через теплопроводности чистых газов: из \(\varkappa_i\propto1/(\sqrt{\mu_i}\,r_i^2)\) следует \(r_2/r_1 = \sqrt[4]{\mu_1/\mu_2}\cdot\sqrt{\varkappa_1/\varkappa_2}\). Подставляя \(n_1/n_2=\alpha\) и \(\sigma_{12}/\sigma_{11}=\big((r_1+r_2)/2r_1\big)^2\), получаем окончательно
\[ \boxed{\varkappa = \frac{\varkappa_1}{1+\dfrac{1}{4\alpha}\left(1+\sqrt{\dfrac{\varkappa_1}{\varkappa_2}} \sqrt[4]{\dfrac{\mu_1}{\mu_2}}\right)^{2}\sqrt{\dfrac{1+\mu_1/\mu_2}{2}}} + \frac{\varkappa_2}{1+\dfrac{\alpha}{4}\left(1+\sqrt{\dfrac{\varkappa_2}{\varkappa_1}} \sqrt[4]{\dfrac{\mu_2}{\mu_1}}\right)^{2}\sqrt{\dfrac{1+\mu_2/\mu_1}{2}}}} \](множитель \(\sqrt{(1+\mu_1/\mu_2)/2}\) — это \(\sqrt{1+\mu_1/\mu_2}\big/\sqrt2\): относительная скорость «чужих» столкновений, отнесённая к \(\sqrt2\) для «своих».)
Проверка. При \(\alpha\to\infty\) (почти чистый первый газ) первый член \(\to\varkappa_1\), второй \(\to0\) ✓. При \(\alpha\to0\) — наоборот ✓. Если газы совпадают \((\varkappa_1=\varkappa_2=\varkappa_0,\ \mu_1=\mu_2)\), то скобки дают 4, последние корни равны 1, и сумма \(\varkappa_0\left[\frac{1}{1+1/\alpha}+\frac{1}{1+\alpha}\right] =\varkappa_0\left[\frac{\alpha}{\alpha+1}+\frac{1}{\alpha+1}\right]=\varkappa_0\) — «смесь» одинаковых газов обязана иметь ту же теплопроводность, и формула воспроизводит это точно ✓. Главный физический вывод: теплопроводность смеси не есть среднее теплопроводностей ✓; малая добавка лёгкого газа к тяжёлому даёт заметно меньше, чем можно ожидать, — на этом основаны газоанализаторы по теплопроводности.Ответ Вклады сортов складываются, каждый со своим множителем «укорочения пробега»; результат — формула в рамке выше.Примечание. В «Ответах» книги — та же конструкция, но без множителей \(\sqrt{(1+\mu_1/\mu_2)/2}\) и \(\sqrt{(1+\mu_2/\mu_1)/2}\): там относительная скорость «чужих» столкновений принята такой же, как «своих». При \(\mu_1=\mu_2\) формулы совпадают; для оценочной модели переноса различие непринципиально.Остывание в разреженном газе
6/10В разреженном газе нагретое тело остывает за время \(t\). За какое время остынет тело из того же материала, если все его линейные размеры увеличить в \(n\) раз?
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея В разреженном газе (пробег больше размеров тела) молекулы прилетают прямо от стенок сосуда, поэтому теплоотдача идёт с каждого квадратного метра поверхности одинаково — независимо от размеров тела. А запас тепла пропорционален объёму.\[ t \sim \frac{\text{запас тепла}}{\text{мощность отвода}} \sim \frac{c\rho\,V\,\Delta T}{q\,S} \propto \frac{V}{S} \propto L. \] \[ \boxed{t' = n\,t} \]Проверка. Совпадает с задачей 5.1.9 (там время истечения тоже росло как \(L\)) ✓ — та же геометрия «объём против поверхности». Условие разреженности существенно ✓: в плотном газе или при теплопроводности через среду поток идёт как \(\varkappa S\Delta T/L\), и тогда \(t\propto L^2\) — совсем другой закон. Практический вывод: крупные тела в вакууме остывают медленнее пропорционально размеру ✓ — поэтому большие спутники термостабильнее маленьких. Отношение поверхности к объёму падает как \(1/L\) ✓ — та же причина, по которой крупные животные легче переносят холод.Ответ \(t' = nt\).О капле
7/10В этой задаче рассматривается эффект уменьшения температуры капли воды вследствие испарения с её поверхности при близких к комнатным давлении и температуре.
В одном из экспериментов шарообразная капля воды радиусом порядка миллиметра удерживалась силами поверхностного натяжения на тонкой полимерной леске. Зависимость температуры капли от времени измерялась с помощью высокоточного инфракрасного тепловизора. Вдали от капли (на «бесконечности») поддерживались постоянные значения: температуры \(T_\infty\), давления \(p_\infty\) и относительной влажности воздуха \(\varphi_\infty\). Обнаружилось, что если в начальный момент температура капли была равна температуре на бесконечности \(T_\infty\), то затем в течение короткого времени она уменьшалась до значения \(T_\infty - \Delta T\) (\(\Delta T\) порядка нескольких градусов) и далее длительное время оставалась постоянной. Предлагается определить величину разности температур \(\Delta T\), учитывая диффузию пара от капли на бесконечность и тепловой поток, обусловленный разностью температур капли и воздуха на бесконечности. Конвекцией и передачей тепла по леске предлагается пренебречь.
В стационарном режиме в пространстве вне капли устанавливается распределение концентрации пара \(n(r)\) и температуры \(T(r)\). В силу сферической симметрии концентрация и температура зависят только от расстояния до центра капли \(r\) и удовлетворяют уравнениям: \[\frac{dN}{dt} = -D \cdot 4\pi r^2 \frac{dn}{dr}, \qquad \frac{dQ}{dt} = -\kappa \cdot 4\pi r^2 \frac{dT}{dr}.\] где \(dN\) — количество молекул пара, проходящих за время \(dt\) через поверхность сферы радиусом \(r\), концентрической с каплей, \(dQ\) — количество тепла, переносимого за время \(dt\) через поверхность той же сферы; коэффициенты диффузии и теплопроводности \(D\) и \(\kappa\) можно считать постоянными. Маленькими стрелками на рисунке символически показан поток диффундирующих молекул пара.
A. Коэффициенты диффузии и теплопроводности \(D\) и \(\kappa\), молярная масса \(\mu_{\text{H}_2\text{O}}\), удельная теплота испарения воды \(L\) и радиус капли \(r_0\) считаются известными. Изменение радиуса капли вследствие испарения можно считать незначительным.
A1) Температура у поверхности капли \(T(r_0)\) и температура на бесконечности \(T_\infty\) (см. рис.) известны. Определите тепловой поток \(\dfrac{dQ}{dt}\) и распределение температуры \(T(r)\).
A2) Известны концентрации пара: \(n(r_0)\) и \(n_\infty\), определите массу воды, испаряющейся с поверхности капли за малое время \(t\).
A3) Используя результаты пунктов A1) и A2), выразите разность плотностей пара у капли и на бесконечности \(\Delta\rho = \rho(r_0) - \rho_\infty\) через разность температур \(\Delta T = T_\infty - T(r_0)\).
B. Отношение коэффициентов теплопроводности и диффузии в условиях задачи удовлетворяет соотношению: \[\frac{\kappa}{D} = \frac{v_{\text{в}}}{v_{\text{H}_2\text{O}}} \cdot \frac{c_V \rho_{\text{в}}}{\mu_{\text{в}}},\] где \(v_{\text{H}_2\text{O}}\) и \(v_{\text{в}}\) — среднеквадратичные скорости молекул воды и воздуха, \(c_V = 2{,}5R\) — молярная теплоёмкость воздуха при постоянном объёме, \(\rho_{\text{в}}\) — плотность воздуха. Определите отношение коэффициентов при температуре 300 К. При расчёте плотности давление воздуха можно считать равным \(10^5\) Па. Универсальная газовая постоянная равна \(R = 8{,}3\) Дж/(моль\(\cdot\)К), молярные массы воды и воздуха: \(\mu_{\text{H}_2\text{O}} = 18\) г/моль и \(\mu_{\text{в}} = 29\) г/моль соответственно. Убедитесь в том, что при изменении температуры на 10 К отношение коэффициентов меняется незначительно.
C. Используя график зависимости плотности насыщенного пара воды от температуры, приведённый на рисунке ниже, а также результаты, полученные в частях A и B, определите как можно точнее величину разности температур \(\Delta T\), для следующих значений параметров на бесконечности: \(T_\infty = 27\,^\circ\)С, \(\varphi_\infty = 70\) %. Удельная теплота испарения воды и давление воздуха равны: \(L = 2{,}4 \cdot 10^6\) Дж/кг и \(p_0 = 10^5\) Па соответственно.
Примечание. При выполнении заданий части A может оказаться полезной формула: \[\int\limits_a^\infty \frac{dx}{x^2} = \frac{1}{a}.\]
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаВ стационарном режиме оба потока (тепла и пара) одинаковы по любой сфере вокруг капли, поэтому \(r^2\,dT/dr\) и \(r^2\,dn/dr\) постоянны. Тепло, уходящее на испарение, должно приходить из воздуха.
▶ОтветСкрыть: ответ
ОтветA1) \(\dfrac{dQ}{dt} = -4\pi\kappa r_0\,(T_\infty - T(r_0))\), \(T(r) = T_\infty - (T_\infty - T(r_0))\,\dfrac{r_0}{r}\); A2) \(m = 4\pi D r_0 t\,(n(r_0) - n_\infty)\,\dfrac{\mu_{\text{H}_2\text{O}}}{N_A}\); A3) \(\Delta\rho = \dfrac{\kappa}{LD}\,\Delta T\); B) \(\dfrac{\kappa}{D} \approx 0{,}657 \cdot 10^3\ \dfrac{\text{Дж}}{\text{К}\cdot\text{м}^3}\); C) \(\Delta T = 5 \pm 0{,}5\) К.
Атмосфера Тритона: плотность
3/10На Тритоне, спутнике планеты Нептун, плотность воздуха, состоящего в основном из азота, составляет 0,13 г/м\(^3\). Известно, что \(6\cdot10^{23}\) (это число из шестёрки и 23 нулей) молекул азота имеют массу 28 г.
Вопрос A (6 баллов). Сколько молекул воздуха содержится в кубике длиной ребра 2 микрометра (один микрометр "— это миллионная доля метра)? Ответ округлите до второй значащей цифры.
Вопрос B (4 балла). Представим, что имеется прямоугольный параллелепипед, в основании которого "— квадрат длиной 0,1 нанометра (один нанометр "— это миллиардная доля метра), порядка размера молекулы. Какой высоты должен быть параллелепипед, чтобы в него в среднем попадала одна молекула? Ответ представьте в миллиметрах и округлите до второй значащей цифры. Полученное Вами значение по порядку величины равно длине свободного пробега "— расстоянию, которое молекула проходит между двумя последовательными столкновениями.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаНайдите число молекул в одном кубическом метре, затем умножьте на объём кубика; для B найдите объём, приходящийся на одну молекулу.
▶ОтветСкрыть: ответ
ОтветA) 23 000; B) 35 мм.
Атмосфера Тритона: давление
5/10На Тритоне, спутнике планеты Нептун, давление воздуха, состоящего в основном из азота (молярная масса 28 г/моль), составляет 1,5 Па, температура \(-235\,^\circ\)C. Ускорение свободного падения на поверхности спутника 0,78 м/с\(^2\). Абсолютный нуль составляет \(-273\,^\circ\)C, универсальная газовая постоянная 8,3 Дж/(моль\(\cdot\)К), одному молю соответствует \(6\cdot10^{23}\) частиц.
Вопрос A (1 балл). Определите массу воздуха в одном кубическом метре у поверхности Тритона. Ответ представьте в граммах и округлите до второй значащей цифры.
Вопрос B (2 балла). Какой высоты должна быть льдинка (плотность 0,9 г/см\(^3\)) в форме прямоугольного параллелепипеда, чтобы она создавала на поверхность Тритона такое же давление, что и воздух? Ответ представьте в миллиметрах и округлите до второй значащей цифры.
Вопрос C (4 балла). Сколько молекул воздуха содержится в кубике длиной ребра 2 микрометра? Ответ округлите до второй значащей цифры.
Вопрос D (3 балла). Представим, что имеется прямоугольный параллелепипед, в основании которого "— квадрат длиной 0,1 нанометра, порядка размера молекулы. Какой высоты должен быть параллелепипед, чтобы в него в среднем попадала одна молекула? Ответ представьте в миллиметрах и округлите до второй значащей цифры. Полученное Вами значение по порядку величины равно длине свободного пробега "— расстоянию, которое молекула проходит между двумя последовательными столкновениями.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПлотность газа найдите из уравнения Менделеева "— Клапейрона, затем число молекул "— через массу и молярную массу.
▶ОтветСкрыть: ответ
ОтветA) 0,13 г; B) 2,1 мм; C) 23 000; D) 35 мм.
В сосуде
6/10В невесомости в высоком цилиндрическом сосуде с площадью основания \(0{,}05\) м\(^2\) находится вода массой \(m\) в жидком состоянии и влажный воздух, давление которого в любой точке сосуда равно внешнему давлению \(p_0 = 10^5\) Па, а температура равна температуре воды и равна \(t = 65\,^\circ\)C. Сосуд открыт сверху, поэтому относительная влажность воздуха в сосуде вследствие диффузии меняется линейно в зависимости от расстояния \(x\) до его дна, покрытого водой. Можно считать, что вблизи дна влажность равна 100 %, а на расстоянии \(H = 1\) м от дна она уменьшается до 20 %. График зависимости плотности насыщенных паров воды от температуры показан на приведённом ниже рисунке.
Молярные массы сухого воздуха и воды равны 29 г/моль и 18 г/моль соответственно. Универсальная газовая постоянная равна \(R = 8{,}3\) Дж/(моль\(\cdot\)К).
(4 балла) Пусть в начальный момент масса воды в жидком состоянии равна \(m_1 = 32\) г. Сосуд герметизируют, устанавливая специальную тонкую жёсткую задвижку на высоте \(H = 1\) м. После этого температуру в сосуде медленно увеличивают до \(100\,^\circ\)C. Найдите давление в сосуде в конечном состоянии.
(5 баллов) В этом случае начальная масса жидкости в сосуде равна \(m_2 = 1{,}2\) г. На расстоянии \(H\) от дна сосуда устанавливают поршень, который может скользить без трения вдоль оси сосуда. После этого температуру в сосуде начинают медленно уменьшать. Найдите расстояние от дна сосуда до поршня при температуре \(60\,^\circ\)C и \(10\,^\circ\)C.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаНайдите по линейному профилю влажности массу пара и массу сухого воздуха в сосуде в начальный момент. Затем проверьте, остаётся ли при новой температуре вода в жидком состоянии или всё испарилось, и пользуйтесь либо насыщением пара, либо уравнением состояния.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(p_A = (193 \pm 8)\) кПа; 2) \(H_1 = (1{,}01 \pm 0{,}015)\) м; \(H_2 = (0{,}72 \pm 0{,}02)\) м.