Дифракционная решётка

Дифракционная решётка (см. рисунок ниже) представляет собой непрозрачную пластинку, в которой с пространственным периодом \(D\) сделаны \(N\) (\(N\gg1\)) узких прорезей (штрихов) толщиной \(h\). Обратите внимание, на рисунке прозрачные области показаны серым. В первых двух пунктах этой задачи мы рассматриваем решётки, содержащие \(n=100\) штрихов на миллиметр, считая при этом, что \(h=0{,}2D\). Решётки располагаются параллельно экрану, на котором наблюдается дифракционная картина, на расстоянии \(L=3\) м от него. Экраном считается участок вертикальной стены высотой 1 м и шириной 2 м. Решётки освещаются лучом лазерной указки, параметры которой одинаковые для всех пунктов: диаметр пучка \(d=2\) мм, длина волны \(\lambda=532\) нм. В первых двух пунктах свет падает на решётки по нормали. Середины решётки и экрана лежат на одном перпендикуляре к плоскости экрана.

1. Пусть штрихи решётки ориентированы вертикально. При нормальном падении лазерного луча на решётку на экране наблюдается система ярких пятен. Сколько всего светлых пятен будет видно на экране? Чему будет равно расстояние между соседними пятнами вблизи центра экрана?

2. Пусть две дифракционные решётки накладываются друг на друга. Штрихи одной решётки располагаются горизонтально, а штрихи другой составляют угол \(\alpha\) с горизонтальной прямой. В результате получается непрозрачная пластинка, на которой периодически распределяются прозрачные области в виде параллелограммов. Схематично такая пластинка показана на рисунке ниже, тёмные параллелограммы символизируют прозрачные области.

   

   При освещении такой двумерной решётки лазером на экране наблюдается система светлых пятен. Пусть на экране задана система координат \(YOX\), направление осей \(OY\) и \(OX\) совпадает с направлением осей на рисунке, начало координат находится в центре экрана.

   Пусть угол \(\alpha\) равен \(\dfrac\pi2\). Сделайте рисунок, изобразите дифракционную картину. Укажите координаты нескольких светлых пятен на экране, располагающихся вблизи начала координат.

   Изобразите схематично дифракционную картину и определите координаты светлых пятен для случая \(\alpha\ne\dfrac\pi2\).

3. Гитарная струна с оплёткой представляет собой отражательную дифракционную решётку. Оплётка — это тонкая проволока, навитая в один слой виток к витку на сердечник струны (см. рисунок).

   

   При освещении горизонтально расположенной струны лучом лазерной указки, направленным под небольшим углом к горизонтали (см. рисунок, представленный ниже), на вертикальном экране, находящемся в 2–3 метрах от струны, наблюдается дифракционная картина в виде концентрических полуокружностей. В эксперименте были измерены следующие величины: расстояние от точки падения лазерного луча на струну до стены \(L=2\) м, радиусы первых двух полуокружностей \(R_0=4\) см, \(R_1=12{,}5\) см. «Первых двух» означает наименьшей и следующей по размеру. Использовался тот же лазер, что и в предыдущих пунктах (\(\lambda=532\) нм). Определите по этим данным диаметр проволоки оплётки.

   

СВЧ-антенна радиолокатора устроена следующим образом: вдоль прямой линии на равных расстояниях \(d = 2{,}5\) см друг от друга расположены \(N = 100\) излучателей электромагнитных волн длиной \(\lambda = 2d\) (см. рис.). Каждый из них излучает сферическую волну, причем модуль напряженности поля \(n\)-го излучателя (\(0 \le n \le N\)) изменяется по закону \(E(t) = A\sin(\omega t - kr_n + n\dfrac{\pi}{2}\cos\Omega t)\), где \(r_n\) — расстояние от данного излучателя, \(k = 2\pi/\lambda\) — волновое число, а \(\Omega \ll \omega\). Найдите, как зависит от времени угол между лучом, излучаемым радиолокатором в плоскости рисунка, и нормалью к цепочке излучателей. Оцените угловую ширину луча и его угловую скорость.