Две окружности

При движении по окружности угловая скорость не зависит от радиуса: сила упругости и сила Лоренца обе пропорциональны \(r\). Старт из покоя — это сумма двух встречных равномерных вращений с подобранными длинами векторов, при которой начальные скорости взаимно гасятся.

1. Уравнение движения бусинки на резинке в магнитном поле \(\vec B\) имеет вид \[m\vec a = -k\vec r + q\big[\vec v\times\vec B\big],\] то есть (как и отмечено в условии) оно является линейным и однородным уравнением по отношению к закону движения \(\vec r(t)\) (сам вектор координаты, откладываемый от положения равновесия бусинки, и его производные — скорость и ускорение — входят в уравнение только в первой степени). При движении по окружности радиуса \(r_0\) центростремительное ускорение бусинки создаётся силой упругости резинки и силой Лоренца, причём в зависимости от направления вращения сила Лоренца либо направлена к центру окружности, либо от него. Значит, величина угловой скорости бусинки при таком движении находится из уравнения \[m\omega^2r_0 = kr_0 \pm qB\omega r_0 \;\Longrightarrow\; \omega^2 \pm \frac{qB}{m}\omega - \frac{k}{m} = 0.\] Далее введём обозначения \(\Omega \equiv \dfrac{qB}{2m}\) и \(\omega_0^2 \equiv \dfrac{k}{m}\). Тогда, выбирая для каждого случая положительный корень, приходим к выводу, что при вращении по часовой стрелке величина угловой скорости (циклическая частота вращения) \[\omega_1 = \sqrt{\omega_0^2 + \Omega^2} + \Omega = \sqrt{\frac{k}{m} + \frac{q^2B^2}{4m^2}} + \frac{qB}{2m},\] а при вращении против часовой стрелки она равна \[\omega_2 = \sqrt{\omega_0^2 + \Omega^2} - \Omega = \sqrt{\frac{k}{m} + \frac{q^2B^2}{4m^2}} - \frac{qB}{2m} < \omega_1.\]

Примечание: в обоих случаях угловая скорость не зависит от радиуса окружности! Поэтому величина линейной скорости пропорциональна радиусу описываемой окружности.

2. Пусть теперь \(\vec r_1(t)\) — закон движения бусинки, вращающейся по окружности радиуса \(r_0\) по часовой стрелке, а \(\vec r_2(t)\) — закон движения бусинки, вращающейся по той же окружности против часовой стрелки. Модули скоростей движения у бусинки при этих движениях различаются: легко найти, что \(|\vec v_1| = \omega_1r_0\), а \(|\vec v_2| = \omega_2r_0\). Если записать суперпозицию этих законов движения в виде \[\vec r(t) = \frac{\omega_2}{\omega_1 + \omega_2}\vec r_1(t) + \frac{\omega_1}{\omega_1 + \omega_2}\vec r_2(t),\] то, в соответствии с линейностью и однородностью уравнения движения (и в соответствии с содержащейся в условии «подсказкой»), этот закон тоже удовлетворяет уравнению движения. Легко определить начальные условия, которым он соответствует: поскольку \(\vec r_1(0) = \vec r_2(0) \equiv \vec r_0\) и при различных направлениях вращения \(|\vec v_1(0)| = \omega_1r_0 = \dfrac{\omega_1}{\omega_2}|\vec v_2(0)|\), то \(\vec r(0) = \vec r_0\) и \(\vec v(0) = 0\). Следовательно, полученный закон описывает движение бусинки, запущенной без начальной скорости с расстояния \(r_0\) от отверстия! Мы обнаружили, что вектор координаты такой бусинки можно в любой момент времени найти как сумму вектора \(\dfrac{\omega_2}{\omega_1 + \omega_2}\vec r_1(t)\) с постоянной длиной \(\dfrac{\omega_2}{\omega_1 + \omega_2}r_0\), вращающегося с угловой скоростью \(\omega_1\) по часовой стрелке, и вектора \(\dfrac{\omega_1}{\omega_1 + \omega_2}\vec r_2(t)\) с постоянной длиной \(\dfrac{\omega_1}{\omega_1 + \omega_2}r_0\), вращающегося с угловой скоростью \(\omega_2\) против часовой стрелки от того же начального положения (см. рисунок). Отметим, что угол между этими векторами в момент времени \(t\) равен \(\varphi(t) = (\omega_1 + \omega_2)t\). Поэтому, по теореме косинусов, в этот момент времени расстояние от бусинки до отверстия удовлетворяет уравнению \[r^2(t) = \left(\frac{\omega_2}{\omega_1 + \omega_2}r_0\right)^2 + \left(\frac{\omega_1}{\omega_1 + \omega_2}r_0\right)^2 + 2\cdot\frac{\omega_2}{\omega_1 + \omega_2}r_0\cdot\frac{\omega_1}{\omega_1 + \omega_2}r_0\cdot\cos\Big[(\omega_1 + \omega_2)t\Big].\] Значит, \[r(t) = \frac{r_0}{\omega_1 + \omega_2}\sqrt{\omega_1^2 + \omega_2^2 + 2\omega_1\omega_2\cdot\cos\Big[(\omega_1 + \omega_2)t\Big]}.\] Таким образом, циклическая частота изменения расстояния от бусинки до положения равновесия равна \(\omega_1 + \omega_2 = 2\sqrt{\omega_0^2 + \Omega^2}\), причём минимальное значение \[r_\text{min} = \frac{\omega_1 - \omega_2}{\omega_1 + \omega_2}r_0 = \frac{\Omega}{\sqrt{\omega_0^2 + \Omega^2}}r_0\]

расстояние принимает в моменты времени \(t_n = \dfrac{\pi}{\sqrt{\omega^2 + \Omega^2}}\left(n + \dfrac{1}{2}\right)\) (где \(n = 0, 1, 2, \ldots\)). Отметим, что для нахождения \(r_\text{min}\) не обязательно исследовать закон изменения расстояния \(r(t)\): достаточно понять, что расстояние от бусинки до отверстия минимально, когда «составляющие» векторы нашей суперпозиции направлены противоположно. Тогда ясно, что \(r_\text{min}\) равно разности их модулей.

3. Из формулы для \(r(t)\) видно, что максимальное расстояние от бусинки до отверстия равно начальному \(r_\text{max} = r_0\), и оно достигается в моменты времени \(t'_n = \dfrac{\pi}{\sqrt{\omega_0^2 + \Omega^2}}n\) (где \(n = 0, 1, 2, \ldots\)). Как видно, впервые после отпускания это произойдёт в момент времени \[\tau = \frac{\pi}{\sqrt{\omega_0^2 + \Omega^2}}.\] Как и в предыдущем пункте, можно получить этот ответ без нахождения \(r(t)\) — достаточно образного представления движения. Тогда ясно, что расстояние максимально, когда вращающиеся навстречу друг другу «составляющие» векторы суперпозиции встречаются, и \(\tau = \dfrac{2\pi}{\omega_1 + \omega_2} = \dfrac{\pi}{\sqrt{\omega_0^2 + \Omega^2}}\).

4. При таком соотношении параметров \(\Omega^2 = \omega_0^2/8\), и поэтому \(\omega_1 = \omega\cdot\sqrt{2}\), а \(\omega_2 = \omega_0/\sqrt{2}\). Значит, отношение угловых скоростей \(\omega_1 : \omega_2 = 2 : 1\), то есть общее движение периодическое, и траектория оказывается замкнутой. В этом случае \[\vec r_1(t) = \frac{1}{3}\vec r_1(t) + \frac{2}{3}\vec r_2(t),\] длины векторов, сумма которых даёт \(\vec r(t)\), равны \(r_0/3\) и \(2r_0/3\), а закон изменения расстояния \[r(t) = \frac{r_0}{3}\sqrt{5 + 4\cdot\cos\Big[3\omega_2t\Big]}.\] Ясно, что период движения — наименьшее общее кратное периодов двух составляющих движений, которое в нашем случае равно периоду меньшей частоты \(\omega_2\).

Поэтому впервые после отпускания бусинка окажется в исходной точке спустя время \[T = \frac{2\pi}{\omega_2} = \frac{2\pi\sqrt{2}}{\omega_0} = 2\pi\sqrt{\frac{2m}{k}}.\] Период изменения расстояния от отверстия

\[T = \frac{2\pi}{\omega_1 + \omega_2} = \frac{2\pi\sqrt{2}}{3\omega_0} = \frac{1}{3}T_2.\] Поэтому за один период движения бусинка трижды достигает максимального расстояния \(r_0\), и трижды — минимального \(r_0/3\). Таким образом, траектория за «полный оборот» вокруг оси отверстия трижды проходит от окружности с радиусом \(r_0\) до окружности с радиусом \(r_0/3\) и обратно, причём вблизи общих точек с большей окружностью бусинка движется по радиусу (траектория касается радиуса), в общих точках с меньшей окружностью радиальная скорость бусинки обращается в ноль при ненулевой угловой скорости — бусинка движется перпендикулярно радиусу, и её траектория касается меньшей окружности в общих точках. По этим сведениям можно достаточно корректно изобразить вид траектории (см. рисунок). Другой способ изучить траекторию — записать закон движения бусинки в декартовых координатах \((x, y)\). Удобно совместить начало координат с осью отверстия, а ось \(x\) направить так, чтобы она проходила через начальное положение бусинки. Проецируя закон движения на эти оси, получим: \[\begin{cases} x(t) = \dfrac{r_0}{3}\Big[2\cos(\omega_2t) + \cos(2\omega_2t)\Big],\\[2mm] y(t) = \dfrac{r_0}{3}\Big[2\sin(\omega_2t) - \sin(2\omega_2t)\Big]. \end{cases}\] Тогда можно построить траекторию «по точкам», выбрав несколько характерных значений \(\omega_2t\). Впрочем, и в этом случае удобно в первую очередь построить положение точек, отвечающих моментам, когда бусинка находится на максимальном и минимальном расстояниях от отверстия, то есть \(\omega_2t = 0, \dfrac{\pi}{3}, \dfrac{2\pi}{3}, \pi, \dfrac{4\pi}{3}, \dfrac{5\pi}{3}\).