Задачи › Малые колебания, период через энергию

Колебания бусинки

  1. Колебания бусинки

    МОШ 2024/25, 11 кл.
    7/10

    На гладком, равномерно заряженном полукольце радиусом \(R\), закреплённом в вертикальной плоскости, в его нижней точке покоится одноимённо заряженная бусинка массой \(m\) и зарядом \(q\). Линейная плотность заряда полукольца равна \(\lambda\). Ускорение свободного падения равно \(g\).

    Рисунок

    1. При каких значениях заряда \(q\) равновесие бусинки будет устойчивым? Параметры \(\lambda\), \(g\), \(R\) и \(m\) считаются известными.

    2. Пусть заряд бусинки \(q\) таков, что положение её равновесия в нижней точке полукольца является устойчивым. Определите период малых колебаний бусинки вблизи положения равновесия. Параметры \(\lambda\), \(q\), \(g\), \(R\) и \(m\) известны.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    При смещении бусинки на малый угол \(\alpha\) почти вся сила отталкивания от полукольца направлена по нормали; в касательном направлении остаётся сила только от маленького участка дуги, оказавшегося с «другой» стороны.

    Ответ

    1) \(q \le \dfrac{\sqrt2\,mgR}{k\lambda}\);  2) \(T = 2\pi\sqrt{\dfrac{\sqrt2\,mR^2}{\sqrt2\,mgR - kq\lambda}}\).

    Решение

    а) Сместим бусинку из положения равновесия на малый угол \(\alpha\) от вертикали.

    Рисунок

    Из симметрии следует, что участок \(AB\) полукольца действует на бусинку по нормали с силой \(F_{AB}\), как показано на рисунке. Напишем условие существования возвращающей силы в касательном к полукольцу направлении (ось \(Ox\)): \[mg\sin\alpha - F_{BC}\cos\frac{\pi}{4} \ge 0 .\] Так как \(F_{BC} = k\dfrac{q\lambda R\cdot 2\alpha}{2R^2}\) (направлена под углом \(\dfrac{3\pi}{4}\) к оси \(Ox\)), и справедлива приближённая формула \(\sin\alpha \approx \alpha\), получаем \[k\frac{q\lambda R\cdot 2\alpha}{2R^2} \le \frac{mg\alpha}{\cos\frac{\pi}{4}} \;\Longrightarrow\; q \le \frac{\sqrt2\,mgR}{k\lambda}.\]

    б) Запишем второй закон Ньютона для бусинки (см. рисунок): \[-m\ddot x = mg\sin\alpha - F_{BC}\cos\frac{\pi}{4} \approx mg\frac{x}{R} - k\frac{q\lambda\cdot x}{R^2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}.\] Следовательно, период малых колебаний равен \[T = 2\pi\sqrt{\frac{\sqrt2\,mR^2}{\sqrt2\,mgR - kq\lambda}}.\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх