Ловушка Пеннинга

Ловушкой Пеннинга называется один из типов ионных ловушек "— устройств, используемых в экспериментах по ядерной физике для удержания заряженных частиц и ядер в некоторой ограниченной области пространства в течение длительного (по меркам микромира) времени. В этой ловушке мощным электромагнитом создаётся однородное магнитное поле \(B\), которое можно считать направленным против оси \(OZ\) системы координат с началом в центре ловушки (\(B_x = 0\), \(B_y = 0\), \(B_z = -B\)), кроме того, системой металлических электродов создаётся электрическое поле с потенциалом \[\varphi(x, y, z) = \frac{U_0}{2r_0^2}\left(-a(x^2 + y^2) + bz^2\right),\] где \(U_0\) и \(r_0\) "— известные постоянные, \(a\) и \(b\) "— неизвестные безразмерные константы, причём \(a > 0\). Оказывается, в полях такого вида положительно заряженная частица движется сложным образом. Вдоль оси \(OZ\) частица совершает гармонические колебания с некоторой частотой \(\Omega_z\) около начала координат. Проекция траектории частицы на плоскость \(XOY\) представляет собой эпитрохоиду. Это линия, которую описывает точка, движущаяся по окружности радиуса \(r\) с постоянной угловой скоростью \(\omega^{(+)}\), при том что центр этой окружности движется по окружности бо́льшего радиуса \(R\) (\(R > r\)) с меньшей угловой скоростью \(\omega^{(-)}\). Здесь и далее имеются в виду угловые скорости относительно лабораторной (!) системы отсчёта. Примеры эпитрохоид, для которых центр большей окружности находится в начале координат, можно видеть на рисунке ниже.

Далее везде речь идёт о движении частицы с известными массой \(m\) и положительным зарядом \(q\). Параметры \(U_0\), \(r_0\) и \(B\) также считаются известными во всех частях задачи, кроме части C.

1. (4 б.) Получите формулы для проекций \(E_x\), \(E_y\) и \(E_z\) вектора напряжённости электрического поля на оси системы координат и найдите отношение \(\dfrac{b}{a}\) безразмерных коэффициентов \(b\) и \(a\) в выражении для потенциала электростатического поля.

   Внимание! Если вы не получили в части A отношение \(\dfrac{b}{a}\), можете приступить к решению части C, считая это отношение известным параметром.

2. (2 б.) Пусть задан коэффициент \(b\). Определите частоту колебаний \(\Omega_z\), а также циклотронную частоту \(\Omega_0\) вращения частицы в магнитном поле при отсутствии электрического.

3. (6 б.) Выразите угловые скорости вращения частицы \(\omega^{(+)}\) и \(\omega^{(-)}\) по окружностям, дающим траекторию в виде эпитрохоиды, через параметры \(\Omega_z\) и \(\Omega_0\) (\(\sqrt{2}\,\Omega_z < \Omega_0\)); \(\omega^{(+)}\) "— угловая скорость движения по окружности радиусом \(r\), \(\omega^{(-)}\) "— угловая скорость вращения центра этой окружности. Радиусы окружностей \(r\) и \(R\) неизвестны. На рисунке выше ось \(OZ\) направлена на читателя, движение по обеим окружностям происходит в направлении против часовой стрелки.

4. (2 б.) Для траектории в виде бо́льшей эпитрохоиды на рисунке выше (линия чёрного цвета), используя результаты предыдущих частей, определите безразмерные коэффициенты \(a\) и \(b\) в выражении для потенциала электростатического поля.