Излучает и падает

В соответствии с законами классической электродинамики заряженная частица, движущаяся с ускорением, излучает электромагнитные волны. Релятивистские эффекты в этой задаче не учитываются. Масса и модуль заряда электрона, скорость света в вакууме и электрическая постоянная равны \(m_e\), \(e\), \(c\) и \(\varepsilon_0\) соответственно.

1. Пусть электрон движется вокруг протона по орбите, близкой к круговой. Протон считаем неподвижным, поскольку его масса много больше \(m_e\). Известно, что мощность излучения движущегося электрона даётся формулой \[P=A\cdot e^{\alpha}c^{\beta}\varepsilon_0^{\gamma}a^{\delta},\] где \(a\) — ускорение электрона, \(A\) — безразмерная константа. Определите показатели степени: \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\), \(\delta\).

2. В процессе излучения энергия электрона уменьшается, поэтому он должен двигаться не по окружности, а по спирали и в некоторый момент времени должен упасть на протон. Предполагая, что за время, равное периоду обращения электрона, расстояние \(R\) между электроном и протоном изменяется незначительно, а также считая известной постоянную \(A\) в приведённой выше формуле, определите время \(\Delta t\), за которое расстояние \(R\) уменьшается от известного значения \(R_0\) на \(\Delta R\), при условии, что \(\Delta R\ll R_0\). Найдите время \(t_{1/2}\), за которое расстояние \(R\) уменьшается от значения \(R_0\) до значения \(\dfrac{R_0}{2}\).

Указание. Может оказаться полезной формула \[\int\limits_a^b x^n\,dx=\frac{1}{n+1}\left(b^{n+1}-a^{n+1}\right),\qquad n\ne-1.\]