Вай кодамо!

Подсказка

Рассмотрите по отдельности источники каждого типа (метод наложения) и найдите преобразования бесконечной схемы — сдвиг и поворот, — переводящие её в себя: они дают, что потенциалы всех узлов одинаковы. Для омметра и для замены источника представьте всю остальную сетку эквивалентным источником.

Решение

Используя симметрию электрической цепи, докажем, что потенциалы на соседних выводах источников каждого типа одинаковы. Для этого введём обозначения узлов \(A_1\), \(B_1\), \(A_2\), \(B_2\), \(A_3\), \(B_3\) и т. д., как показано на рис. 1.

Воспользуемся методом наложения. Рассмотрим сначала систему из источников только с ЭДС \(\mathcal{E}\) при «выключенных» ЭДС всех остальных источников (см. рис. 2).

Сдвиг на одно звено схемы вдоль направления \(A_3 - A_1\) переводит схему «саму в себя», поэтому \(\varphi_{A_3} - \varphi_{B_3} = \varphi_{A_2} - \varphi_{B_2} = \varphi_{A_1} - \varphi_{B_1} = \Delta\varphi\), а также \(\varphi_{A_4} - \varphi_{B_3} = \varphi_{A_3} - \varphi_{B_2} = \varphi_{A_2} - \varphi_{B_1} = \Delta\varphi'\), где \(\varphi_M\) — потенциал соответствующего узла \(M\).

Перевернём цепь таким образом, что узлы \(A_3\) и \(B_2\), а также узлы \(A_2\) и \(B_3\) меняются местами (см. рис. 3).

Так как цепь перешла «сама в себя», то \[\varphi_{B_2} - \varphi_{A_2} = \varphi_{B_3} - \varphi_{A_3} = \varphi_{B_4} - \varphi_{A_4} = \Delta\varphi,\] \[\varphi_{B_1} - \varphi_{A_2} = \varphi_{B_2} - \varphi_{A_3} = \varphi_{B_3} - \varphi_{A_4} = \Delta\varphi'.\] Откуда следует, что \(\Delta\varphi = -\Delta\varphi\) и \(\Delta\varphi' = -\Delta\varphi'\) или \(\Delta\varphi = 0\) и \(\Delta\varphi' = 0\). С учётом этого получаем, что потенциалы, созданные системой источников с ЭДС \(\mathcal{E}\), во всех узлах такой схемы одинаковы.

Аналогично можно рассмотреть отдельно систему из источников только с ЭДС \(2\mathcal{E}\) и систему из источников только с ЭДС \(3\mathcal{E}\) при «выключенных» ЭДС всех остальных источников. Таким образом, разность потенциалов между любыми двумя узлами схемы в каждой рассмотренной системе равна нулю, а согласно методу наложения и результирующая разность потенциалов между любыми двумя узлами схемы также равна нулю. Значит, разности потенциалов между плюсом и минусом каждого типа источников равны: \[\varphi_+ - \varphi_- = 0.\]

Запишем закон Ома для произвольной пары соседних узлов, участок цепи между которыми содержит ЭДС \(\mathcal{E}\): \[(\varphi_+ - \varphi_-) + \mathcal{E} = I_1 r.\] Здесь положительному значению \(I_1\) соответствует ток, текущий в направлении действия \(\mathcal{E}\). Поскольку \(\varphi_+ - \varphi_- = 0\), сила тока \(I_1 = \mathcal{E}/\nabla\) для любого такого участка. Аналогично для участков цепи, содержащих ЭДС \(2\mathcal{E}\) и \(3\mathcal{E}\):

\[(\varphi_+ - \varphi_-) + 2\mathcal{E} = I_2 r;\] \[(\varphi_+ - \varphi_-) + 3\mathcal{E} = I_3 r.\] Следовательно, \[I_1 = \mathcal{E}/r \tag{1}\] \[I_2 = 2\mathcal{E}/r \tag{2}\] \[I_3 = 3\mathcal{E}/r \tag{3}\]

Рассмотрим бесконечную электрическую цепь с двумя соседними (ближайшими) выводами на источнике любого типа как эквивалентный источник с ЭДС \(\mathcal{E}_\text{экв}\) и внутренним сопротивлением \(r_\text{экв}\) (рис. 4).

ЭДС эквивалентного источника \(\mathcal{E}_\text{экв} = 0\), так как разность потенциалов между любыми двумя соседними выводами равна нулю.

Внутреннее сопротивление эквивалентного источника \(r_\text{экв}\) определим как сопротивление между двумя соседними (ближайшими) узлами бесконечной сетки с «выключенными» ЭДС. Для этого снова воспользуемся методом наложения. Рассмотрим сначала бесконечную сетку с внутренними сопротивлениями источников, где в один из узлов втекает ток силой \(I_0\) и растекается до бесконечности. В ближайших к данному узлу ветках силы токов будут одинаковы (в силу симметрии) и равны \(I_+ = I_0/6\). Затем рассмотрим ту же бесконечную сетку, где из соседнего узла вытекает ток силой \(I_0\). Аналогично, в данной схеме токи в ближайших к данному узлу ветках будут одинаковы и равны \(I_- = I_0/6\).

Далее рассмотрим суперпозицию этих двух случаев. Тогда напряжение на сопротивлении \(r\) равно \((I_+ + I_-)r\), следовательно \[r_\text{экв} = \frac{(I_+ + I_-)r}{I_0} = \frac{r}{3}.\] Таким образом, при использовании любых двух соседних (ближайших) узлов электрическая схема ведёт себя как резистор с сопротивлением \(r_\text{экв} = r/3\). Поэтому показания омметра не будут зависеть от полярности его подключения. С учётом этого получаем ответ для показаний омметра: \[R_1 = r/3 \tag{4}\] \[R_2 = r/3 \tag{5}\] \[R_3 = r/3 \tag{6}\] Эти результаты не зависят от полярности подключения омметра.

Эквивалентный источник из предыдущего пункта можно представить как параллельное соединение источника с ЭДС \(2\mathcal{E}\) и сопротивлением \(r\) (который заменяется другим источником по условию) и источника с ЭДС \(\mathcal{E}^*\) и сопротивлением \(r^*\), который эквивалентен оставшейся части электрической схемы (см. рис. 5).

С учётом того, что ЭДС эквивалентного источника \(\mathcal{E}_\text{экв} = 0\) и его сопротивление \(r_\text{экв} = r/3\), найдём \(\mathcal{E}^*\) и \(r^*\).

Сопротивления связаны соотношением \[\frac{1}{r_\text{экв}} = \frac1r + \frac{1}{r^*},\] откуда \(r^* = r/2\). Приравнивая токи короткого замыкания рассмотренного параллельного соединения источников и эквивалентного источника, приходим к соотношению: \[\frac{\mathcal{E}^*}{r^*} - \frac{2\mathcal{E}}{r} = \frac{\mathcal{E}_\text{экв}}{r_\text{экв}},\] откуда находим \(\mathcal{E}^* = \mathcal{E}\).

Источник с ЭДС \(2\mathcal{E}\) и сопротивлением \(r\) можно заменить источником с ЭДС \(\mathcal{E}\) и сопротивлением \(r/2\) двумя разными способами (используя разную полярность подключения, как представлено на рис. 6).

При подключении первым способом согласно закону Ома для полной цепи \[I = \frac{\mathcal{E} - \mathcal{E}}{r/2 + r/2} = 0.\] При подключении вторым способом согласно закону Ома для полной цепи \[I = \frac{\mathcal{E} + \mathcal{E}}{r/2 + r/2} = \frac{2\mathcal{E}}{r}.\] В итоге, в зависимости от способа подключения получаем: \[I = 0 \quad\text{или}\quad I = 2\mathcal{E}/r.\]