Задачи › Электродвигатели и генераторы

Зарядка аккумулятора

  1. Зарядка аккумулятора

    ВсОШ 2024/25, 11 кл.
    6/10

    Иногда электродвигатель можно использовать в качестве генератора напряжения. Рассмотрим в качестве примера электродвигатель, в котором магнитное поле создается постоянным магнитом статора, и тогда при совершении работы по вращению в этом поле ротора двигателя в нем создается ЭДС индукции. Будем поддерживать вращение ротора за счет натяжения легкого нерастяжимого троса с массивным грузом, который плавно (и практически равномерно) опускается с некоторой высоты \(H\). Заметим, что в таком режиме сила тока в обмотке ротора прямо пропорциональна силе натяжения троса. Возникшая ЭДС используется для зарядки аккумулятора, заряд которого увеличивается на величину \(Q_1 = 300\text{ мА}\cdot\text{час}\). Если подключить этот аккумулятор к двум таким же параллельно соединенным электродвигателям, и опустить тот же груз с той же высоты на двух одинаково нагруженных тросах, каждый из которых вращает ротор одного из электродвигателей, то приобретаемый заряд станет равным \(Q_2 = 400\text{ мА}\cdot\text{час}\).

    1. Во сколько раз отличается время зарядки в первом и втором случае?

    2. Во сколько раз сила тока зарядки аккумулятора в первом и втором случае отличается от силы тока в цепи ротора одного электродвигателя с закрепленным неподвижно ротором при подключении его к этому аккумулятору?

    3. Какой заряд приобретет аккумулятор, если аналогичным образом использовать для его зарядки три таких электродвигателя?

    Изменением ЭДС аккумулятора в процессе зарядки, внутренним сопротивлением аккумулятора и действием на груз сил сопротивления воздуха можно пренебречь.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Ток пропорционален натяжению троса: с двумя двигателями ток каждого вдвое меньше, а суммарный ток зарядки тот же. Запишите закон сохранения энергии: работа силы тяжести идёт на зарядку аккумулятора и джоулево тепло в обмотках.

    Ответ

    1) \(t'/t = Q_2/Q_1 = 4/3\);  2) \(I_0/I = 1\) — ток зарядки в обоих случаях равен току через неподвижный ротор;  3) \(Q_3 = \dfrac{3Q_1Q_2}{4Q_1 - Q_2} = 450\text{ мА}\cdot\text{час}\).

    Решение

    Рассмотрим сначала случай одного генератора. Поскольку груз опускается равномерно, то сила натяжения троса постоянна (она равна весу груза), и поэтому ток в обмотке ротора постоянен. Это значит, что \(Q_1 \approx I\cdot t\).

    В случае с двумя генераторами они делят нагрузку поровну, то есть сила натяжения каждого троса равна половине силы натяжения для одного троса. Поскольку магнитные силы, действующие на ротор, пропорциональны току через него, то токи через генераторы в этом случае будут равны \(I' = I/2\). Суммарный ток зарядки аккумулятора остался тем же, то есть теперь \(Q_2 \approx I\cdot t'\).

    Значит, отношение времен зарядки \[\frac{t'}{t} \approx \frac{Q_2}{Q_1} = \frac43.\]

    При опускании груза, согласно условию, его потенциальная энергия переходит только в работу по дозарядке аккумулятора и в джоулево тепло, выделяющееся в цепи обмотки ротора. Пусть \(\varepsilon\) — постоянная (по условию) ЭДС аккумулятора, а \(R\) — сопротивление цепи обмотки ротора. Работа над аккумулятором равна \(A = \varepsilon Q_1\), а мощность тепловыделения \(P = I^2R\). Если масса груза равна \(m\), то закон сохранения энергии для зарядки одним генератором имеет вид: \[mgH \approx \varepsilon Q_1 + I^2Rt = Q_1\left(\varepsilon + \frac{RQ_1}{t}\right).\] Для зарядки двумя генераторами: \[mgH \approx \varepsilon Q_2 + 2I'^2Rt' = \varepsilon Q_2 + \frac12 I^2Rt' = Q_2\left(\varepsilon + \frac{RQ_1}{2t}\right)\] (здесь мы использовали соотношение \(Q_1/t \approx Q_2/t'\)). Сопоставляя два выражения для \(mgH\), находим, что \[Q_2 = Q_1\cdot\frac{2(\varepsilon t + RQ_1)}{2\varepsilon t + RQ_1} = Q_1\cdot\frac{2x+2}{2x+1},\] где введено обозначение \(x \equiv \dfrac{\varepsilon t}{RQ_1}\). Отметим, что эта величина как раз и равна отношению силы тока через неподвижный ротор (\(I_0 = \varepsilon/R\)) к силе тока зарядки. Из полученного соотношения выражаем \[\frac{I_0}{I} = x = \frac{2Q_1 - Q_2}{2Q_2 - 2Q_1} = 1.\]

    Повторив аналогичные рассуждения для случая трех генераторов, получим \[Q_3 = Q_1\cdot\frac{3x+3}{3x+1} = \frac{3Q_1Q_2}{4Q_1 - Q_2} = 450\text{ мА}\cdot\text{час}.\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх