Трубка со ртутью

При смещении столбика на \(h\) разность давлений воздуха в коленах уравновешивает лишний столбик ртути высотой \(2h\); давления воздуха — по закону Бойля–Мариотта, а охлаждение равносильно уменьшению начального давления. Проверьте, не выходит ли ответ за длину столбика \(l/4\), и выберите из корней устойчивый.

Пусть смещение концов столбика ртути после переворота трубки равно \(h_0\). Разность давлений воздуха в левой и правой частях трубки \(\Delta P = P_\text{л} - P_\text{п}\) уравновешивается избыточным гидростатическим давлением ртути \(2\rho gh_0\). Используя закон Бойля-Мариотта, найдем: \[P_\text{л} = P_\text{А}\frac{l}{l - h_0}, \qquad P_\text{п} = P_\text{А}\frac{l}{l + h_0}.\]

Запишем условие равновесия столбика ртути: \[P_\text{А}\frac{l}{l - h_0} - P_\text{А}\frac{l}{l + h_0} = 2\rho gh_0.\] После преобразований получаем: \[\frac{2lh_0P_\text{А}}{l^2 - h_0^2} = 2\rho gh_0.\] Решения этого уравнения \[h_0 = 0,\quad h_0 = \pm\sqrt{l\left(l - \frac{P_\text{А}}{\rho g}\right)}.\] При \(P_\text{А} = 750\text{ мм рт.ст.} > 625\text{ мм рт.ст.} = \rho gl\) подходит только один из корней \(h_0 = 0\). Таким образом, сразу после переворота столбик ртути не смещается.

Понижение температуры до \(0{,}8\,T_0\) соответствует изменению начального давления воздуха (давления воздуха в трубке с запаянными концами до её переворота) с \(P_A\) до \(P_1 = 0{,}8\,P_A = \rho gL_1\), где \(L_1 = 0{,}8\cdot 750\text{ мм} = 600\) мм. В этом случае существует решение: \[h_1 = \sqrt{l\left(l - \frac{P_1}{\rho g}\right)} = \sqrt{l\,(l - L_1)} = \sqrt{0{,}625\,(0{,}625 - 0{,}600)}\text{ м} = \frac{l}{5} = 125\text{ мм}.\]

Можно показать, что именно это решение соответствует устойчивому положению столбика ртути. Корень \(h_1 = 0\) мм соответствует неустойчивому положению, то есть при небольшом смещении столбика ртути избыточное гидростатическое давление превышает разность давлений воздуха в левом и правом участках трубки и ртуть стремится занять положение, соответствующее устойчивому положению.

Покажем, что корень \(h_1 = 125\) мм соответствует устойчивому равновесию. Пусть от положения равновесия столбик ртути сместился дополнительно на некоторое малое расстояние \(x\), тогда давление газа в левой части сосуда: \[P_\text{л}(x) = \frac{lP_1}{l - h_1 - x} = \frac{lP_1}{l - h_1}\cdot\frac{1}{1 - \frac{x}{l - h_1}} \approx \frac{lP_1}{l - h_1}\left(1 + \frac{x}{l - h_1}\right) = \frac{lP_1}{l - h_1} + \frac{xlP_1}{(l - h_1)^2}.\] Аналогично для давления в правой части сосуда: \[P_\text{п}(x) = \frac{lP_1}{l + h_1 + x} \approx \frac{lP_1}{l + h_1} - \frac{xlP_1}{(l + h_1)^2}.\] Суммарная сила давления газа, стремящаяся вернуть столбик ртути в положение равновесия, равна \[\begin{gather*} F_\text{д}(x) = (P_\text{л} - P_\text{п})S \approx \left(\frac{lP_1}{l - h_1} - \frac{lP_1}{l + h_1}\right)S + \left(\frac{1}{(l - h_1)^2} + \frac{1}{(l + h_1)^2}\right)xlP_1S =\\ = F_\text{д}(0) + \frac{2(l^2 + h_1^2)}{(l^2 - h_1^2)^2}xlP_1S. \end{gather*}\] Сила, равная разности сил тяжестей, действующих на столбики ртути в разных частях сосуда, стремится вывести столбик ртути из положения равновесия:

\[F_\text{т}(x) = \rho S(l/4 + h_1 + x) - \rho S(l/4 - h_1 - x) = 2\rho gSh_1 + 2\rho gSx = F_\text{т}(0) + 2\rho gSx.\] Найдем разность возвращающей и выводящей из положение равновесия сил с учётом равенства \(F_\text{д}(0) = F_\text{т}(0)\) в положении равновесия: \[\Delta F = F_\text{д} - F_\text{т} = 2\left(\frac{(l^2 + h_1^2)lL_1}{(l^2 - h_1^2)^2} - 1\right)\rho gSx.\] Подставив в выражение корень \(h_1 = 0\), получим: \[\begin{gather*} \Delta F = F_\text{д} - F_\text{т} = 2\left(\frac{(l^2 + 0^2)lL_1}{(l^2 - 0^2)^2} - 1\right)\rho gSx = 2\left(\frac{L_1}{l} - 1\right)\rho gSx =\\ = 2\left(\frac{600\text{ мм}}{625\text{ мм}} - 1\right)\rho gSx < 0, \end{gather*}\] т. е. суммарная сила, действующая на систему, будет выводить её из положения равновесия, и \(h_1 = 0\) мм соответствует неустойчивому положению равновесия.

Подставив \(h_1 = l/5\), получим: \[\begin{gather*} \Delta F = F_\text{давл} - F_\text{тяж} = 2\left(\frac{(l^2 + (l/5)^2)lL_1}{(l^2 - (l/5)^2)^2} - 1\right)\rho gSx =\\ = 2\left(\frac{25\cdot 26\cdot L_1}{24^2\cdot l} - 1\right)\rho gSx = 2\left(\frac{25\cdot 26\cdot 600\text{ мм}}{24^2\cdot 625\text{ мм}} - 1\right)\rho gSx =\\ = 2\left(\frac{26}{24} - 1\right)\rho gSx > 0, \end{gather*}\] т. е. суммарная сила, действующая на систему, будет стремиться вернуть её в положение равновесия, и \(h_1 = l/5 = 125\) мм соответствует устойчивому положению равновесия.

Расчёт по полученной формуле для смещения при начальном давлении \(P_2 = 0{,}7\,P_A = \rho gL_2\), где \(L_2 = 0{,}7\cdot 750\text{ мм} = 525\) мм, соответствующего температуре \(T_2 = 0{,}7\,T_0\), даёт результат: \[h_2 = \sqrt{l\left(l - \frac{P_2}{\rho g}\right)} = \sqrt{0{,}625\,(0{,}625 - 0{,}525)}\text{ м} = 0{,}25\text{ м} = 250\text{ мм} = \frac{2l}{5} > \frac{l}{4}.\] Но в этом случае столбик ртути целиком перемещается в одну из частей трубки и выражение для избыточного гидростатического давления \(2\rho gh_2\) должно быть заменено на \(\rho gl/2\).

Пусть столбик ртути целиком перешёл в одну из частей трубки и его нижний конец переместился вниз на \(h_2\), тогда в левой и правой частях трубки давление будет соответственно равно: \[P_\text{л} = P_2\frac{l}{l - h_2} = \frac{\rho glL_2}{l - h_2}, \qquad P_\text{п} = P_2\frac{l}{l + h_2} = \frac{\rho glL_2}{l + h_2}.\] Условие равновесия столбика выглядит теперь следующим образом: \[\frac{2\rho glL_2h_2}{l^2 - h_2^2} = \frac{\rho gl}{2}.\] Получим квадратное уравнение: \[h_2^2 + 4L_2h_2 - l^2 = 0,\] которое имеет корни \[h_2 = -2L_2 \pm\sqrt{4L_2^2 + l^2}.\] Отбросив отрицательный корень, получаем ответ: \[h_2 = \sqrt{4\cdot\left(\frac{T_2P_A}{T_0\rho g}\right)^2 + l^2} - \frac{2T_2P_A}{T_0\rho g} = \sqrt{4\cdot 0{,}525^2 + 0{,}625^2}\text{ мм} - 2\cdot 0{,}525\text{ мм} \approx 172\text{ мм}.\]

Покажем, что \(h_2 \approx 172\) мм соответствует устойчивому положению равновесия. Пусть от положения равновесия ртуть дополнительно сместилась на малое расстояние \(x > 0\), тогда давление газа в левой части сосуда: \[P_\text{л}(x) = \frac{lP_2}{l - h_2 - x} = \frac{lP_2}{l - h_2}\cdot\frac{1}{1 - \frac{x}{l - h_2}} = \frac{lP_2}{l - h_2} + \Delta P_1,\ \Delta P_1 > 0.\] Аналогично находим давление газа в правой части сосуда: \[P_\text{п}(x) = \frac{lP_2}{l + h_2 + x} = \frac{lP_2}{l + h_2}\cdot\frac{1}{1 + \frac{x}{l + h_2}} = \frac{lP_2}{l + h_2} - \Delta P_2,\ \Delta P_2 > 0.\] Суммарная сила давления газа, стремящаяся вернуть столбик ртути в положение равновесия, равна \[\begin{gather*} F_\text{д} = (P_\text{л} - P_\text{п})S \approx \left(\frac{lP_2}{l - h_2} - \frac{lP_2}{l + h_2}\right)S + (\Delta P_1 + \Delta P_2)S =\\ = F_\text{д0} + (\Delta P_1 + \Delta P_2)S. \end{gather*}\] Сила тяжести не изменяется при движении столба жидкости внутри одной части сосуда: \[F_\text{т} = \rho Slg/2.\] Найдем разность возвращающей и выводящей из положение равновесия сил с учетом равенства \(F_\text{д0} = F_\text{т}\) в положении равновесия: \[\Delta F = F_\text{д} - F_\text{т} = (\Delta P_1 + \Delta P_2)S > 0,\] т. е. результирующая сила положительна и положение равновесия устойчиво.