Электрокалорический генератор

В электродинамике при описании диэлектриков вводится в рассмотрение вектор электрической индукции \(\vec D\). Вектор \(\vec D\) количественно характеризует поле только (!) свободных зарядов, вектор \(\vec E\) — поле свободных зарядов и поляризационных зарядов, возникающих в диэлектриках. Обычно вектор \(\vec D\) пропорционален вектору \(\vec E\). Однако, существуют материалы (сегнетоэлектрики) с нелинейной зависимостью \(\vec D\) от \(\vec E\). В этой задаче векторы \(\vec D\) и \(\vec E\) сонаправлены. Схематично вид зависимости \(D(E)\) для типичного сегнетоэлектрика при постоянной температуре показан на рис. 5 чёрной линией. Зависимость \(D(E)\) для того же сегнетоэлектрика при более высокой температуре схематично показана серой линией. Обе зависимости обладают ярко выраженным гистерезисом, иначе говоря, значение \(D\) для данного \(E\) зависит от характера изменения поля \(E\) (увеличивается или уменьшается). Впрочем, в данной задаче это несущественно.

Вид зависимости \(D(E)\) в некоторых сегнетоэлектриках весьма сильно меняется с температурой, что позволяет их использовать для преобразования тепловой энергии в электрическую. Присоединим конденсатор с сегнетоэлектриком к идеальному источнику постоянного напряжения. Периодически изменяя температуру сегнетоэлектрика, можно получить периодически изменяющийся ток в цепи. При этом работа источника напряжения за цикл будет равна нулю. Получится преобразователь тепловой энергии в работу тока. Можно считать, что сегнетоэлектрик — это своеобразное рабочее тело тепловой машины, которое характеризуется параметрами: \(D\), \(E\), \(T\).

Рассмотрим модельный цикл, показанный на рис. 6. Процессы 1–2 и 3–4 — зарядка и разрядка конденсатора с сегнетоэлектриком при постоянной температуре. 2–3 и 4–1 — нагревание и охлаждение при постоянном электрическом поле. Цикл имеет форму параллелограмма.

Термодинамика сегнетоэлектрика описывается соотношениями, справедливыми для малых (!) изменений параметров \(\Delta E\), \(\Delta D\), \(\Delta T\): \[\Delta D = \varepsilon_0\varepsilon\,\Delta E + p\,\Delta T, \qquad \frac{\Delta Q}{V} = c\,\Delta T + pT\,\Delta E, \qquad \frac{\Delta A}{V} = D\,\Delta E,\] где \(\varepsilon\), \(p\) и \(c\) (\(\varepsilon > 0\), \(p < 0\), \(c > 0\)) — известные постоянные коэффициенты. Объём \(V\) считается постоянным. \(\Delta Q\) и \(\Delta A\) — количество теплоты и работа при малых изменениях параметров. Для решения задачи этих соотношений достаточно.

1. Определите КПД цикла 1234. Величины \(E_L\), \(E_H\) и \(T_L\), \(T_H\) считайте известными (\(T_L < T_H\)). Если предположить, что \(E_L\) и \(E_H\) могут изменяться неограниченно, то чему равен максимальный КПД этого цикла?

2. Изобразите качественно на диаграмме \(D\)–\(E\) термодинамический цикл \(12'34'\), в котором на участках \(1\)–\(2'\) и \(3\)–\(4'\) зарядка и разрядка конденсатора с сегнетоэлектриком происходят адиабатически. Температуры в точках 1 и 3 равны \(T_L\) и \(T_H\).

3. Определите КПД цикла из п. 2), считая \(E_L\), \(E_H\) и \(T_L\), \(T_H\) известными, а изменения параметров \(D\), \(E\) и \(T\) в пределах цикла малыми. У какого цикла при одинаковых \(E_L\), \(E_H\), \(T_1 = T_L\) и \(T_3 = T_H\) больше КПД — у \(1234\) или у \(12'34'\)?