Обруч на неподвижном бревне

Где находится мгновенная ось вращения обруча, катящегося без проскальзывания? Как тогда связаны скорость центра обруча и скорость его нижней точки, и чему равна кинетическая энергия? Центр обруча движется по окружности.

Заметим, что центр масс обруча движется по окружности радиусом \(R - r\). Пусть скорость центра масс обруча при прохождении обручем положения равновесия равна \(v\). Скорость верхней точки обруча в этот момент равна нулю, поскольку обруч движется по бревну без проскальзывания. Таким образом, через верхнюю точку обруча проходит мгновенная ось вращения. Отсюда легко найти, что скорость нижней точки равна \(V = 2v\). Движение обруча в этот момент можно представить как движение центра масс со скоростью \(v\) и вращение всех точек обруча в системе отсчёта центра масс также со скоростью \(v\). Кинетическая энергия обруча при таком движении равна \(E_\text{к} = mv^2\). (Действительно, можно представить, что обруч сначала разогнали поступательно до скорости \(v\), совершив при этом работу \(mv^2/2\), а потом в системе отсчёта центра масс раскрутили его, разогнав обод до скорости \(v\), и совершив при этом работу, также равную \(mv^2/2\). Суммарная работа в итоге будет равна \(E_\text{к} = mv^2\).)

При переходе обруча из исходного отклонённого положения в нижнее положение его центр масс опустится на величину \[h = (R - r)(1 - \cos\alpha) .\] Приравнивая начальную потенциальную энергию обруча его конечной кинетической энергии, получаем: \[mv^2 = mgh .\] С учётом выражения для \(h\) имеем \(v^2 = g(R-r)(1-\cos\alpha)\), и \(v = \sqrt{g(R-r)(1-\cos\alpha)}\). Следовательно, искомая скорость нижней точки обруча при прохождении им положения равновесия равна \[V = 2v = 2\sqrt{g(R-r)(1-\cos\alpha)} .\] Для ответа на второй вопрос запишем уравнение движения центра масс для момента прохождения им нижней точки траектории в процессе движения по окружности радиусом \(R - r\). Центр масс имеет при этом центростремительное ускорение, и \[m a_\text{цс} = m\frac{v^2}{R - r} = mg(1 - \cos\alpha) = N - mg ,\] где \(N\) — сила, с которой бревно действует на обруч. В соответствии с третьим законом Ньютона обруч давит на бревно с такой же по модулю силой. Поэтому \[N = mg\,(2 - \cos\alpha) .\]