Раскрутка трением

Вдоль линии касания скорости точек валика и диска совпадают лишь в одной точке — там сила трения меняет направление. Положение этой точки на свободном диске найдите из равенства нулю суммарного момента сил трения на нём, затем так же — для валика.

Рассмотрим момент времени, когда валик и правый диск вращаются с постоянными угловыми скоростями \(\Omega\) и \(\omega_x\) соответственно. Введём ось \(Oy\), направленную вдоль оси симметрии валика влево, с началом в центре его правого основания.

Сила трения, действующая на правый диск, меняет своё направление в некоторой точке с координатой \(y_x\). На участке с координатой от \(0\) до \(y_x\) скорость точек валика \(\Omega r\) больше, чем скорость точек диска \(v_x = \omega_x y\), значит сила трения на этом участке направлена по скорости точек валика («от нас»). Аналогично можно показать, что на участке с координатой от \(y_x\) до \(R\), сила трения направлена против скорости точек валика («на нас»).

Сила трения, действующая на участке длиной \(\Delta y\), равна \(f\Delta y\), где \(f\) — сила трения, приходящаяся на единицу длины. Равнодействующая такой равномерно распределённой силы приложена к середине указанного отрезка. С учётом того, что суммарный момент внешней силы трения, действующей на правый диск, равен нулю, получаем: \[fy_x\cdot\frac{y_x}{2} = f(R - y_x)\cdot\frac{R + y_x}{2}.\] Откуда \(y_x = R/\sqrt2\).

Сила трения, действующая на валик со стороны левого диска меняет своё направление в некоторой точке с координатой \(y_0\). Плечо этой силы равно \(r\), а так как валик равномерно вращается, то суммарный момент силы трения, действующей на валик относительно оси вращения также равен нулю, а значит: \[fy_x\cdot r + f(2R - y_0)\cdot r = f(y_0 - y_x)\cdot r.\] Откуда \(y_0 = y_x + R = R/\sqrt2 + R\).

В точках с координатами \(y_x\) и \(y_0\), где сила трения меняет направление, скорости точек дисков равны скорости точек валика \(\Omega r\). Скорость точки правого диска с координатой \(y_x\) равна \(\omega_x\cdot y_x = \omega_x\frac{R}{\sqrt2}\). Скорость точки левого диска с координатой \(y_0\) равна \(\omega_0\cdot(2R - y_0) = \omega_0\cdot\left(R - \frac{R}{\sqrt2}\right)\). С учётом этого \(\omega_x\frac{R}{\sqrt2} = \omega_0\cdot\left(R - \frac{R}{\sqrt2}\right)\) или \[\omega_x = \omega_0(\sqrt2 - 1).\]