Крутильный маятник и круглая решётка

Период малых колебаний удобно найти энергетическим методом: кинетическая энергия \(\propto\dot\alpha^2\), потенциальная — квадратичная по углу; жёсткости от разных источников сил складываются. Круглая решётка вблизи пучка — обычная решётка с периодом \(2b\), а штрихи-дуги искривляют пятна.

1.1.1) \(T=2\pi\sqrt{\dfrac{ml}{2qE_0}}\); 1.1.3) \(T=\dfrac{T_1T_2}{\sqrt{T_1^2+T_2^2}}\); 1.2.1) на экране пятна в виде дуг с шагом \(27{,}5\) мм (\(m=1,2,3\) — \(27{,}5;\,55;\,82{,}5\) мм, четвёртое — за экраном), угловая ширина дуг \(\approx11^\circ\); 1.2.2) картина смещается, угловой размер дуг уменьшается примерно вдвое.

Для расчета периодов колебаний можно использовать как динамический, так и энергетический подход. Воспользуемся энергетическим подходом. В рамках этого метода необходимо ввести некоторую переменную величину \(x\). Далее необходимо найти кинетическую энергию системы, представив ее в виде

\[E_k = Mv^2.\tag{1}\]

Где \(v = x'\) - первая производная от координаты по времени, \(M\) - постоянная величина. Найти потенциальную энергию, как функцию координаты \(U(x)\), Полагая смещение от положения равновесия малым, записать приближенное выражение для изменения потенциальной энергии, оставляя только квадратичные слагаемые, т.е представив это изменение в виде

\[U = Kx^2.\tag{2}\]

Где \(K\) - также постоянная величина. Затем записать уравнение закона сохранения энергии:

\[Mv^2 + Kx^2 = const,\tag{3}\]

которое является уравнением гармонических колебаний с периодом

\[T = 2\pi \sqrt{\frac{M}{K}}.\tag{4}\]

1.1.1 В положении равновесия ось маятника совпадает с направлением вектора напряженности электрического поля. В качестве координаты будем рассматривать угол отклонения маятника от этого направления \(\alpha\). Производная от этого угла есть угловая скорость вращения \(\omega\).

Кинетическая энергия маятника легко рассчитывается по формулам

\[E_k = 2\frac{mv^2}{2} = m\left(\frac{l}{2}\omega\right)^2 = \frac{ml^2}{4}\omega^2.\tag{5}\]

Потенциальная энергия каждого шарика выражается через разность потенциалов в положении равновесия и в отклоненном положении. Поэтому

\[\Delta U = 2q\Delta\varphi = 2qE\Delta z = 2qE\frac{l}{2}(1-\cos\alpha) = qEl\frac{\alpha^2}{2}.\tag{6}\]

Используя формулу (4) и полученные выражения для энергий находим период колебаний

\[T = 2\pi \sqrt{\frac{ml}{2qE}}.\tag{7}\]

1.1.2 Выражение для кинетической энергии (5) справедливо и в данном случае. Рассмотрим потенциальную энергию взаимодействия зарядов на маятнике с одним из неподвижных зарядов. Энергия взаимодействия шариков выражается формулой (см. рис.)

\[U = \frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right).\tag{8}\]

Расстояния между шариками можно выразить из теоремы косинусов:

\[r _ { 1 , 2 } = \sqrt { \left( \frac { l } { 2 } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { l } { 2 } + a \right) ^ { 2 } \pm 2 \left( \frac { l } { 2 } \right) \left( \frac { l } { 2 } + a \right) \cos \alpha } \ .\tag{9}\]

В формулу для потенциальной энергии входят величины обратные расстояниям, поэтому сразу проведем их разложение, учитывая малость угла \(\alpha\):

\[r _ { 1 , 2 } ^ { - 1 } = \left( \left( \frac { l } { 2 } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { l } { 2 } + a \right) ^ { 2 } \pm 2 \left( \frac { l } { 2 } \right) \left( \frac { l } { 2 } + a \right) \cos \alpha \right) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \approx \left( \left( \frac { l } { 2 } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { l } { 2 } + a \right) ^ { 2 } \pm 2 \left( \frac { l } { 2 } \right) \left( \frac { l } { 2 } + a \right) \left( 1 - \frac { \alpha ^ { 2 } } { 2 } \right) \right) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } =\]

\[= \left( \left( \frac { l } { 2 } + a \pm \frac { l } { 2 } \right) ^ { 2 } \mp \left( \frac { l } { 2 } \right) \left( \frac { l } { 2 } + a \right) \alpha ^ { 2 } \right) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } = \left( \frac { l } { 2 } + a \pm \frac { l } { 2 } \right) ^ { - 1 } \left( 1 \mp \frac { \left( \frac { l } { 2 } \right) \left( \frac { l } { 2 } + a \right) } { \left( \frac { l } { 2 } + a \pm \frac { l } { 2 } \right) ^ { 2 } } \alpha ^ { 2 } \right) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \approx\]

\[= \left( \frac { l } { 2 } + a \pm \frac { l } { 2 } \right) ^ { - 1 } \left( 1 \pm \frac { 1 } { 2 } \frac { \left( \frac { l } { 2 } \right) \left( \frac { l } { 2 } + a \right) } { \left( \frac { l } { 2 } + a \pm \frac { l } { 2 } \right) ^ { 2 } } \alpha ^ { 2 } \right)\]

Запишем эти выражения отдельно:

\[r _ { 1 } ^ { - 1 } = ( l + a ) ^ { - 1 } \left( 1 + \frac { 1 } { 2 } \frac { \left( \frac { l } { 2 } \right) \left( \frac { l } { 2 } + a \right) } { ( l + a ) ^ { 2 } } \alpha ^ { 2 } \right) = ( l + a ) ^ { - 1 } + \frac { 1 } { 2 } \frac { \left( \frac { l } { 2 } \right) \left( \frac { l } { 2 } + a \right) } { ( l + a ) ^ { 3 } } \alpha ^ { 2 }\tag{10}\]

\[r _ { 2 } ^ { - 1 } = a ^ { - 1 } \left( 1 - \frac { 1 } { 2 } \frac { \left( \frac { l } { 2 } \right) \left( \frac { l } { 2 } + a \right) } { a ^ { 2 } } \alpha ^ { 2 } \right) = a ^ { - 1 } - \frac { 1 } { 2 } \frac { \left( \frac { l } { 2 } \right) \left( \frac { l } { 2 } + a \right) } { a ^ { 3 } } \alpha ^ { 2 }\]

Теперь подставим их в формулу для кинетической энергии (не зависящие от \(\alpha\) слагаемые опускаем):

\[U = \frac { q ^ { 2 } } { 8 \pi \varepsilon _ { 0 } } \left( \frac { \left( \frac { l } { 2 } \right) \left( \frac { l } { 2 } + a \right) } { ( l + a ) ^ { 3 } } + \frac { \left( \frac { l } { 2 } \right) \left( \frac { l } { 2 } + a \right) } { a ^ { 3 } } \right) \alpha ^ { 2 }\tag{11}\]

Снова используем формулу (5) для периода колебаний

\[T = 2 \pi \sqrt { \frac { M } { K } } = 2 \pi \sqrt { \frac { 2 \pi \varepsilon _ { 0 } m l ^ { 2 } } { q ^ { 2 } \left( \frac { \left( \frac { l } { 2 } \right) \left( \frac { l } { 2 } + a \right) } { ( l + a ) ^ { 3 } } + \frac { \left( \frac { l } { 2 } \right) \left( \frac { l } { 2 } + a \right) } { a ^ { 3 } } \right) } } .\tag{12}\]

1.1.3 Так как выражение для кинетической энергии остается неизменным, то необходимо только просуммировать выражения для энергия потенциальных (фактически сложить два коэффициента \(K\) в формуле (5)). Это приведет к тому, что для периодов колебаний будет выполняться соотношение:

\[\frac { 1 } { T ^ { 2 } } = \frac { 1 } { T _ { 1 } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { T _ { 2 } ^ { 2 } } \quad \Rightarrow \quad T = \frac { T _ { 1 } \cdot T _ { 2 } } { \sqrt { T _ { 1 } ^ { 2 } + T _ { 2 } ^ { 2 } } } .\tag{13}\]

Задача 1.2

1.2.1 В данном случае будет наблюдаться дифракция на решетке: возникать равноотстоящие пятна. Период данной решетки равен

\[d = 2b = 20\,\text{мкм} = 2{,}0 \cdot 10^{-5}\,\text{м}\tag{1}\]

По формуле дифракционной решетки определим углы дифракции:

\[d \sin \theta_m = m\lambda \quad \Rightarrow \quad \sin \theta_m = \frac{m\lambda}{d}.\tag{2}\]

Пятна на экране, соответствующие данным углам дифракции, будут отстоять от центрального максимума на расстояниях

\[x_m = L \operatorname{tg} \theta_m.\tag{3}\]

В таблице 1 рассчитаны эти углы для нескольких первых максимумов. Таблица 1.

Как следует из проведенных расчетов, углы дифракции являются малыми, поэтому можно считать, что их тангенсы и синусы равны. В последнем столбце приведены координаты максимумов. Видно, что четвертый максимум окажется за пределами экрана.

Далее необходимо учесть, что штрихи являются изогнутыми. Поэтому пятна также будут изогнутыми и представлять собой симметричные дуги окружностей. Схематически положение этих пятен при попадании света на разные части дуг решетки, показаны на рисунке (масштабы дуг решетки и расстояний до пятен не соблюдены). Вычислим угловой размер дуговых пятен, который совпадает с угловым размером лазерного пучка на решетке. Этот угловой размер не сложно вычислить с помощью рисунка:

\[\gamma = 2 \arcsin\left(\frac{a}{2l}\right) \approx 11^\circ\tag{4}\]

На следующем рисунке показана схематически дифракционная картина.

1.2.2 При изменении расстояния \(l\) дифракционная картина сместится на такое же расстоянии, угловой размер пятен уменьшится приблизительно в два раза.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.