Заряженный шарик в слабопроводящей жидкости

Шарик лёгкий, а жидкость вязкая, поэтому сила поля всё время уравновешена трением. Заряд стекает с шарика током, который найдите через поток плотности тока и теорему Гаусса; смещение пропорционально потерянному заряду.

\(x_{\max}=\dfrac{\rho\varepsilon\varepsilon_0q_0U}{\beta h}\).

Уравнение второго закона Ньютона для движущегося шарика имеет вид

\[ma = qE - \beta v\tag{1}\]

где \(qE\) - сила, действующая на шарик со стороны электрического поля, напряженность которого определяется формулой

\[E = \frac{U}{h}\tag{2}\]

Учитывая, что шарик легкий, а жидкость вязкая, можно считать, что в любой момент времени сумма сил, действующих на шарик равна нулю, то есть, выполняется соотношение

\[qE = \beta v\tag{3}\]

Получим уравнение, описывающее, изменение заряда шарика с течением времени. Очевидно, что заряд уменьшается вследствие наличия

слабого тока, стекающего с шарика \(\frac{\Delta q}{\Delta t} = -I\). Суммарная сила тока, стекающего с шарика, равна потоку вектора плотности тока \(\vec{j}\)

\[I = \Phi_j = \sum \vec{j} \cdot \vec{n} \Delta S\tag{4}\]

через любую замкнутую поверхность, окружающую шарик. По закону Ома плотность тока связана с напряженностью поля соотношением

\[\vec{j} = \frac{1}{\rho} \vec{E}\tag{5}\]

Следовательно, поток вектора \(\vec{j}\), выражается через поток вектора напряженности соотношением

\[\Phi_j = \frac{1}{\rho} \Phi_E = \frac{q}{\rho \varepsilon \varepsilon_0}\tag{6}\]

в котором окончательное выражение получено с помощью теоремы Гаусса. Заметим, что в выражение (2) диэлектрическая проницаемость жидкости не входит, а при выводе формулы (6) следует учесть поляризационные заряды, возникающие у поверхности шарика. Таким образом, изменение заряда шарика описывается уравнением

\[\frac{\Delta q}{\Delta t} = -\frac{q}{\rho \varepsilon \varepsilon_0}\tag{7}\]

Выразим из этого уравнения заряд шарика \(q = -\rho \varepsilon \varepsilon_0 \frac{\Delta q}{\Delta t}\) и подставим в уравнение (3) (в котором запишем \(v = \frac{\Delta x}{\Delta t}\)):

\[\beta \frac{\Delta x}{\Delta t} = -\rho \varepsilon \varepsilon_0 \frac{\Delta q}{\Delta t} \cdot \frac{U}{h}\tag{8}\]

Максимальному смещению шарика соответствует его полная разрядка (в этом случае \(\Delta q = -q_0\)). Таким образом, из уравнения (8) следует, что максимальное смещение шарика равно \(x_{max} = \frac{\rho \varepsilon \varepsilon_0 q_0 U}{\beta h}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.