Диско-шар

Диско-шар — это шар с зеркальной поверхностью, состоящей из сотен или тысяч граней, каждая из которых — маленькое плоское зеркало. Обычно он подвешивается на потолке к устройству, которое равномерно вращает его вокруг вертикальной оси. Когда шар освещается прожекторами, зрители видят многочисленные отблески («зайчики»), бегущие по полу, стенам и потолку помещения (фото ниже). Зеркальные шары приобрели популярность в период расцвета музыкального стиля диско, в конце 70-х годов 20 века, когда их стали устанавливать в залах дискотек и ночных клубов.

Пусть шар радиусом \(R\) вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр (т. \(A\), рис. ниже, вид сверху), совершая \(n\) оборотов в секунду. Расстояние от центра шара до вертикальной стены, совпадающей с горизонтальной осью \(0X\) на рисунке, равно \(H\), при этом \(H \gg R\). Шар освещается пучком параллельных лучей, который формируется прожектором, расположенным на стене на той же высоте, что и центр шара. Лучи света от прожектора идут перпендикулярно стене, поперечный размер пучка равен \(2d\).

Рассмотрим «зайчики», бегущие по стене на той же высоте, что и прожектор.

1. Чему равно максимальное значение координаты зайчика \(x_{\max}\)?

2. Определите скорость \(v(x)\) движения «зайчика», проходящего точку с координатой \(x\).

3. Пусть одинаковые маленькие плоские зеркала, покрывающие поверхность шара, имеют форму квадратиков с длиной стороны \(a\) (\(a \ll R\)). Пусть пучок света прожектора, падающий на шар, имеет небольшую расходимость (рис. выше), определяемую углом \(2\varphi\) (\(\varphi \ll 1\), см. Указание). Оцените максимальное значение угла \(\varphi\), при котором хотя бы в некоторых точках стены можно будет различить отдельные «зайчики».