Падающий в трубе магнит

При решении этой задачи могут оказаться полезными (а могут и не оказаться) некоторые или все из приведённых ниже формул.

Уравнения для осесимметричного магнитного поля в вакууме в цилиндрической системе координат: \[\frac{1}{r}\,\frac{\partial (r B_r)}{\partial r} + \frac{\partial B_z}{\partial z} = 0, \qquad \frac{\partial B_r}{\partial z} - \frac{\partial B_z}{\partial r} = 0.\] Связь радиальной компоненты \(B_r\) осесимметричного поля с магнитным потоком \(\Phi(z)\) через диск радиуса \(R\), центр которого лежит на оси \(OZ\) в точке с координатой \(z\), а плоскость перпендикулярна этой оси: \[B_r(R, z) = -\frac{1}{2\pi R}\cdot\frac{d\Phi}{dz}.\] Осевая и радиальная составляющие поля магнитного диполя с моментом \(m\) (момент направлен вдоль оси \(OZ\)): \[B_z(z, r) = \frac{\mu_0}{4\pi}\cdot\frac{m(2z^2 - r^2)}{(z^2 + r^2)^{5/2}}, \qquad B_r(z, r) = \frac{\mu_0}{4\pi}\cdot\frac{3mzr}{(z^2 + r^2)^{5/2}}.\] Поле в центре основания постоянного магнита цилиндрической формы (радиус основания \(a\), высота \(h\), магнитный момент \(m\)): \[B_0 = \frac{\mu_0 m}{2\pi a^2\sqrt{a^2 + h^2}}.\] Значения некоторых несобственных интегралов: \[\int_0^\infty \frac{x^2\,dx}{(x^2 + a^2)^4} = \frac{\pi}{32 a^5}, \qquad \int_0^\infty \frac{x^2\,dx}{(x^2 + a^2)^5} = \frac{5\pi}{256 a^7}.\]

1. Рассмотрим тонкое кольцо радиуса \(R\), изготовленное из проволоки сечением \(S\) (\(S \ll R^2\)). Проводимость материала кольца (величина, обратная удельному сопротивлению) \(\sigma = \dfrac{1}{\rho}\) известна. Кольцо движется с постоянной скоростью \(v\) вдоль оси \(OZ\), которая совпадает с осью симметрии магнитного поля и самого кольца. Считая известными функции \(B_z(z, r)\) и \(B_r(z, r)\), задающие осевую и радиальную компоненты магнитной индукции, найдите силу, действующую на кольцо в точке с координатой \(z\).

2. В начале координат закреплён небольшой магнит с моментом \(m\), направленным вдоль оси \(OZ\). Вдоль этой же оси движется очень длинная тонкостенная труба радиуса \(R\) с толщиной стенки \(d\) (\(d \ll R\)). Ось трубы совпадает с осью \(OZ\), а её скорость \(v\) постоянна. Материал трубы имеет проводимость \(\sigma\). Определите силу взаимодействия трубы и магнита.

3. В вертикальной медной трубе (\(R = 1\) см, \(d = 1\) мм) падает соосный трубе цилиндрический неодимовый магнит (радиус основания \(a = 0{,}5\) см, высота \(h = 2a\)). Спустя некоторое время после начала падения скорость магнита становится постоянной. Определите эту установившуюся скорость, считая что поле вне магнита совпадает с полем точечного диполя, расположенного в его центре и обладающего тем же магнитным моментом. Сопротивлением воздуха можно пренебречь.

   Плотность материала магнита \(\rho_{\text{м}} = 7{,}4\) г/см\(^3\), проводимость меди \(\sigma = 5{,}8 \cdot 10^7\) (Ом\(\cdot\)м)\(^{-1}\). Магнит создаёт поле \(B_0 = 1\) Тл в центре своего основания. Ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с\(^2\).