Вынуждают колебаться!

К одному концу невесомой нити, перекинутой через идеальный блок, присоединён пружинный маятник, состоящий из лёгкой пружины с тяжёлым шариком. Собственная частота колебаний маятника (в отсутствие затухания) равна \(\omega_0\). На другой конец нити действует такая внешняя сила, что начиная с нулевого момента времени его координата по вертикали меняется по закону \(x_1(t) = A\sin(\Omega t)\) (см. рисунок). В нулевой момент времени маятник находится в положении равновесия и не движется. В обеих частях задачи считается, что нить при колебаниях ни в один из моментов времени не провисает. Шарик движется только по вертикали и не раскачивается.

1. (4 б.) В этой части предлагается пренебречь всеми силами сопротивления. Тогда движение шарика будет представлять собой суперпозицию колебаний с частотами \(\Omega\) и \(\omega_0\): \[x(t) = C_1\sin(\omega_0 t + \varphi) + C_2\sin(\Omega t),\] где \(x(t)\) "— отклонение шарика от положения равновесия (см. рисунок), \(C_1\), \(C_2\), \(\varphi\) "— неизвестные постоянные. Определите максимально возможное отклонение шарика от положения равновесия в следующих случаях: A1) (2 б.) \(\Omega \gg \omega_0\); A2) (2 б.) \(\Omega \ll \omega_0\).

2. (6 б.) В этой части предлагается учесть слабое затухание колебаний маятника. Предположим, что затухание обусловлено силой, пропорциональной скорости шарика и направленной против скорости. Тогда через некоторое время после начала процесса координата шарика будет изменяться периодически по гармоническому закону с частотой \(\Omega\). Однако колебания шарика будут сдвинуты по фазе относительно колебаний конца нити, к которому прикладывается внешняя сила, на \(\varphi\): \[x(t) = C\sin(\Omega t + \varphi).\] Определите абсолютное значение сдвига фаз \(\varphi\) при следующих значениях частоты \(\Omega\): B1) (4 б.) \(\Omega \gg \omega_0\), \(\Omega \ll \omega_0\); B2) (2 б.) \(\Omega = \omega_0\).