Лепёшка из ртути

Лепёшка широкая и плоская, поэтому задача двумерная: запишите равновесие полоски ртути по горизонтали — силы поверхностного натяжения на краях против силы среднего гидростатического давления (с добавкой от веса верхнего цилиндра). Для вытекания найдите, какой может быть наибольшая горизонтальная составляющая силы натяжения, пока край ртути переходит через закругление на боковую поверхность.

1. Неравенство из условия задачи позволяет считать верхнюю поверхность ртути практически плоской, а горизонтальный радиус ртутной «лепёшки» много большим, чем её толщина. Это даёт возможность определить толщину слоя ртути \(h\), рассматривая задачу как двумерную. Будем считать, что ртуть заполнила всю площадь основания цилиндра, но при этом не перешла на его боковую поверхность.

Рассмотрим участок слоя жидкости шириной \(L\) и условие её равновесия в проекции на горизонтальную ось \(x\) (силы, действующие на этот участок в горизонтальном направлении, изображены на рис.): \[F_x = F\cos\theta - F + p_\text{ср}Lh = \sigma L\cos\theta - \sigma L + p_\text{ср}Lh = 0,\] где \(p_\text{ср}\) — среднее по высоте гидростатическое давление ртути, равное \(p_\text{ср} = \rho gh/2\). Тогда имеем: \[\frac{\rho gh^2}{2} = \sigma(1 - \cos\theta) \quad\Rightarrow\quad h = \sqrt{\frac{2\sigma(1 - \cos\theta)}{\rho g}}.\] Когда ртуть заполняет всю поверхность основания цилиндра, её объём равен \[V_0 = Sh = S\sqrt{\frac{2\sigma(1 - \cos\theta)}{\rho g}}.\]

2. Если поставить на ртуть цилиндр массой \(m\), то в каждой точке жидкости гидростатическое давление возрастёт на величину \(mg/S_\text{к}\), где \(S_\text{к}\) — площадь контакта ртути и поставленного на неё цилиндра. Среднее гидростатическое давление в слое ртути в этом случае составит \[p_\text{ср} = \frac{\rho gh}{2} + \frac{mg}{S_\text{к}}.\]

Условие равновесия сил, действующих на участок ртути единичной ширины в проекции на ось \(x\) (см. рис.), примет вид: \[\sigma(1 - \cos\theta) = \frac{\rho gh^2}{2} + \frac{mgh}{S_\text{к}}.\] Отметим, что \(h = V/S_\text{к}\), поскольку поверхность ртути можно считать плоской (после постановки на неё цилиндра это приближение становится ещё более справедливым). Подставляя выражение для \(h\), получим: \[\sigma(1 - \cos\theta) = \frac{\rho gV^2}{2S_\text{к}^2} + \frac{mgV}{S_\text{к}^2}.\] Ртуть полностью заполнит зазор между цилиндрами при \(S_\text{к} = S\), следовательно \[m_1 = \frac{\sigma S^2(1 - \cos\theta)}{gV} - \frac{\rho V}{2}.\]

Примечание: обращаем внимание, что в выражении для давления ртути нельзя считать \(\rho gh \ll mg/S\), так как эти величины могут быть одного порядка!

3. В процессе перехода границы ртути с основания нижнего цилиндра на его боковую поверхность направление касательной к поверхности ртути поворачивается на \(90^\circ\). Ртуть станет вытекать из зазора между цилиндрами, когда сила гидростатического давления превысит максимально возможную величину горизонтальной компоненты силы поверхностного натяжения. Теоретически, этот максимум соответствует положению касательной, при котором она является горизонтальной, однако это положение может быть нереализуемо при заданном значении угла смачивания \(\theta\).

Рассмотрим два случая.

Первый случай: \(\theta < \pi/2\).

В данном случае касательная к поверхности жидкости никогда не станет горизонтальной, поэтому величина горизонтальной компоненты силы поверхностного натяжения будет максимальной, если касательная будет направлена под углом \(\theta\) к боковой поверхности цилиндра (см. рис.). Тогда \[F_{max} = \sigma L(1 + \sin\theta).\] Записывая условие равновесия, получим, что \[\sigma(1 + \sin\theta) = \frac{\rho gV^2}{2S^2} + \frac{m_2gV}{S^2},\] откуда \[m_2 = \frac{\sigma S^2(1 + \sin\theta)}{gV} - \frac{\rho V}{2}.\]

Второй случай: \(\theta \geqslant \pi/2\).

В данном случае касательная к поверхности жидкости может стать горизонтальной (см. рис.). Тогда максимальная горизонтальная компонента силы поверхностного натяжения будет равна \[F_{max} = 2\sigma L.\] Записывая условие равновесия в этом случае, получим \[2\sigma = \frac{\rho gV^2}{2S^2} + \frac{m_2gV}{S^2},\] откуда \[m_2 = \frac{2\sigma S^2}{gV} - \frac{\rho V}{2}.\] Итак, \[m_2 = \begin{cases} \dfrac{\sigma S^2(1 + \sin\theta)}{gV} - \dfrac{\rho V}{2} & \text{при}\quad \theta < \pi/2,\\[3mm] \dfrac{2\sigma S^2}{gV} - \dfrac{\rho V}{2} & \text{при}\quad \theta \geqslant \pi/2. \end{cases}\]