Петля с током

Сила Ампера, действующая на кусок нити любой формы, зависит только от положения его концов: её проекции равны \(IB\,\Delta y\) и \(-IB\,\Delta x\). Так как сила Ампера перпендикулярна нити, натяжение меняется только из-за тяжести: \(dT = \rho g\,dy\).

Чтобы найти силу, с которой однородное магнитное поле воздействует на проводник \(MN\) с током, имеющий сложную форму, возьмём маленький участок проводника длины \(dl\). Сила, действующая на него, равна \(dF = IB\,dl\) и направлена перпендикулярно (см. рис.). Проекции этой силы на оси координат равны \[dF_x = IB\,dl\cos\alpha = IB\,dy, \qquad dF_y = -IB\,dl\sin\alpha = -IB\,dx.\] Таким образом, суммируя по всем участкам проводника, получим, что \[F_x = IB(y_N - y_M), \qquad F_y = -IB(x_N - x_M),\] где \((x_M; y_M)\) и \((x_N; y_N)\) — координаты точек \(M\) и \(N\) соответственно.

Пусть \(T_A\) — сила натяжения нити в верхней точке, а \(\rho = m/L\) — линейная плотность нити. Рассмотрим правую половину нити и запишем условия равновесия для сил в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси: \[\left\{\begin{aligned} &T_A\cos30^\circ = mg/2,\\ &T_A\sin30^\circ + T_D = IBH \end{aligned}\right.\] Отсюда найдём \[\left\{\begin{aligned} &T_A = mg/\sqrt3,\\ &T_A/2 + T_D = IBL\cdot\sqrt3/4 \end{aligned}\right.\] Применяя метод виртуальных перемещений, получим \[T_A - T_D = \rho gH = \frac{mgH}{L} = \frac{mg\sqrt3}{4}.\] Отсюда следует, что \[T_A - T_D = \frac{3T_A}{4} \quad\Rightarrow\quad T_A = 4T_D \quad\Rightarrow\quad T_D = \frac{IBL}{4\sqrt3},\] \[mg = \sqrt3\,T_A = 4\sqrt3\,T_D = IBL \quad\Rightarrow\quad m = \frac{IBL}{g}.\]

Рассмотрим участок нити \(CD\) и запишем условие равновесия для сил в проекции на горизонтальную ось: \[T_D = IBh,\] где \(h\) — высота точки \(C\) относительно точки \(D\), равная, соответственно, \[h = \frac{T_D}{IB} = \frac{L}{4\sqrt3}.\] С другой стороны, применяя метод виртуальных перемещений, получим \[T_C - T_D = \rho gh \quad\Rightarrow\quad T_C - T_D = \frac{\rho g}{IB}\cdot T_D = \frac{mg}{IBL}\cdot T_D = T_D \quad\Rightarrow\quad T_C = 2T_D = \frac{IBL}{2\sqrt3}.\]

Пусть \(K\) — некоторая точка, находящаяся на высоте \(y\) относительно точки \(D\) и смещённая относительно неё на \(x\) вправо. Обозначим \(T\) силу натяжения нити в точке \(K\), \(\varphi\) — угол между касательной в точке \(K\) и горизонталью, а \(l\) — длину участка \(KD\). Тогда \[T\sin\varphi = \rho gl + IBx = IB(l + x),\] \[T\cos\varphi = T_D - IBy,\] \[T = T_D + \rho gy = T_D + IBy.\] Дифференцируя первое уравнение и учитывая, что \(dl = dx/\cos\varphi = dy/\sin\varphi\), получим \[d(T\sin\varphi) = IB(dl + dx) = IB\,dy\cdot\frac{1 + \cos\varphi}{\sin\varphi}.\] С другой стороны, \[T(1 + \cos\varphi) = 2T_D,\] откуда имеем \[T\sin\varphi\cdot d(T\sin\varphi) = 2T_D\cdot IB\,dy \quad\Rightarrow\quad \frac{(T\sin\varphi)^2}{2} = 2T_D\cdot IBy \quad\Rightarrow\quad T\sin\varphi = 2IB\sqrt{hy}.\] Учитывая, что \(\operatorname{tg}\varphi = dy/dx\), окончательно получим значение \(d\): \[\frac{dy}{dx} = \frac{2IB\sqrt{hy}}{IB(h - y)} \quad\Rightarrow\quad \frac d2 = \frac{1}{\sqrt h}\int_0^h \frac{h - y}{2\sqrt y}\,dy = h - \frac13 h = \frac23 h \quad\Rightarrow\quad d = \frac{4h}{3} = \frac{L}{3\sqrt3}.\]