Ускоряющее зеркало

Источник и изображение всё время на одной вертикали, поэтому их горизонтальные скорости равны. В системе зеркала их траектории симметричны, откуда ускорение изображения \(\vec a^* = 2\vec a - \vec g\); останется сравнить «крутизну» двух парабол по графику.

Плоскость зеркала горизонтальна, поэтому источник света \(S\) и его изображение \(S^*\) всегда расположены на одной вертикальной прямой. Тогда, поскольку проекция скорости \(v_x\) источника на горизонтальную ось \(x\) остаётся постоянной, проекция скорости изображения на соответствующую ось \(v^*_x = v_x\).

В связанной с зеркалом системе отсчёта ускорение источника равняется: \[\vec a_\text{отн} = \vec g - \vec a.\] В системе отсчёта зеркала траектории источника \(S\) и его изображения \(S^*\) симметричны относительно зеркала, значит для ускорения изображения источника относительно зеркала выполняется: \[\vec a^*_\text{отн} = -\vec a_\text{отн}.\] Для ускорения изображения источника в лабораторной системе отсчёта находим: \[\vec a^* = \vec a + \vec a^*_\text{отн} = 2\vec a - \vec g.\] Далее будем считать, что ускорение зеркала направлено вертикально вверх. Рассмотрим различные варианты определения ускорения.

Первый способ. Рассмотрим траекторию источника между точками, расположенными на одной горизонтали. Между ними он движется в течение времени \(t\), равного: \[t = \frac{2v_\text{в}}{g},\] где \(v_\text{в}\) — вертикальная компонента скорости источника в указанных положениях. Тогда его горизонтальное перемещение за данное время равняется: \[\Delta x = v_x t = \frac{2v_x v_\text{в}}{g}.\] Аналогично рассматривая траекторию изображения источника между точками, расположенными на одной горизонтали, получим: \[\Delta x^* = \frac{2v_x v^*_\text{в}}{g + 2a},\] где \(v^*_\text{в}\) — вертикальная компонента скорости изображения источника в указанных положениях. Здесь мы учли равенство \(v^*_x = v_x\). Разделив уравнения друг на друга, получим: \[\frac{\Delta x}{\Delta x^*} = \frac{v_\text{в}}{v^*_\text{в}}\left(1 + \frac{2a}{g}\right) \;\Rightarrow\; a = \frac{g}{2}\left(\frac{v^*_\text{в}}{v_\text{в}}\,\frac{\Delta x}{\Delta x^*} - 1\right).\] Для улучшения точности рассмотрим максимально возможные значения \(\Delta x\) и \(\Delta x^*\), которым соответствуют точки, расположенные на левом крае рисунка. Соответствующее отношение вертикальных компонент скоростей измерим как отношение угловых коэффициентов касательных. Получим: \[\frac{\Delta x}{\Delta x^*} = 0{,}865 \pm 0{,}010, \qquad \frac{v^*_\text{в}}{v_\text{в}} = \frac{k^*}{k} = 0{,}740 \pm 0{,}015 \;\Rightarrow\; a = -(1{,}76 \pm 0{,}10)\text{ м/с}^2.\] Таким образом: \(a = (1{,}76 \pm 0{,}10)\text{ м/с}^2\), ускорение направлено вниз.

Второй способ. Введём прямоугольную систему координат \(Oxy\). Определим координаты вершин обеих траекторий, для этого проведём горизонтальные прямые и построим к ним серединные перпендикуляры. Координаты вершины для траектории источника (на рисунке обозначено точкой 1) определяются однозначно: \(x_\text{в} = 36\) ус. единиц, \(y_\text{в} = 18\) ус. единиц. Координаты вершины траектории изображения (точка 3) по оси ординат определяются хуже, поэтому возьмём приближённое значение, таким образом \(x^*_\text{в} = 45\) ус. единиц, \(y^*_\text{в} \approx 21\) ус. единиц.

Рассмотрим движение источника света между точками 1 и 2. Между этими двумя точками источник двигался в течение времени \(t_1\), тогда его горизонтальное и вертикальное перемещения: \[\Delta x = v_x t_1; \quad \Delta y = \frac{g t_1^2}{2}.\] Время движения из формулы для горизонтального перемещения: \(t_1 = \Delta x / v_x\). Тогда: \[g = \frac{2\Delta y}{t_1^2} = \frac{2\Delta y \cdot v_x^2}{\Delta x^2}.\] Аналогично рассматривая траекторию изображения источника между точками 3 и 4, с учётом равенства горизонтальных проекций скоростей \(v_x = v^*_x\), получим: \[\Delta x^* = v^*_x t_2; \quad \Delta y^* = \frac{(g + 2a)t_2^2}{2}; \quad g + 2a = \frac{2\Delta y^*}{t_2^2} = \frac{2\Delta y^* \cdot v_x^2}{(\Delta x^*)^2}.\]

Разделим получившиеся выражения для ускорений друг на друга: \[\frac{g + 2a}{g} = \frac{\Delta y^* \cdot \Delta x^2}{\Delta y \cdot (\Delta x^*)^2}; \qquad a = \frac{g}{2}\left(\frac{\Delta y^* \cdot \Delta x^2}{\Delta y \cdot (\Delta x^*)^2} - 1\right).\] Необходимые значения в условных единицах: \(\Delta y^* = 39\), \(\Delta x^* = 65\), \(\Delta x = 74\) и \(\Delta y = 76\) найдены с помощью масштабно-координатной сетки. \[a = \frac{9{,}80}{2}\left(\frac{39 \cdot 74^2}{76 \cdot 65^2} - 1\right) = -1{,}64\text{ м/с}^2.\] Отличие от значения, полученного первым способом, обуславливается погрешностью определения координаты вершины траектории изображения источника.

\(a = 1{,}64\text{ м/с}^2\), ускорение направлено вниз.

Третий способ. Предположим, что ускорение зеркала направлено вниз. Проведём касательные к обеим траекториям в начальный момент времени и построим векторные треугольники перемещений для источника и его изображения. Для улучшения точности рассмотрим максимально возможные значения \(\vec v_0 t\) и \(\vec u_0 t\), где \(\vec v_0\) и \(\vec u_0\) — скорости источника и его изображения. Векторные треугольники будем строить таким образом, чтобы горизонтальные перемещения источника и изображения были равны. Таким образом время \(t\) будет одинаковым для обоих случаев.

Тогда отношение полных ускорений будет равно отношению длин соответствующих сторон двух векторных треугольников перемещений: \[\frac{g - 2a}{g} = \frac{l_2}{l_1},\] где \(l_1\) — длина в условных единицах вертикальной стороны треугольника перемещений источника, а \(l_2\) — вертикальной стороны треугольника перемещений изображения источника. Тогда: \[a = \frac{g}{2}\left(1 - \frac{l_2}{l_1}\right) = \frac{9{,}80}{2}\left(1 - \frac{27}{42}\right) = 1{,}75\text{ м/с}^2.\] \(a = 1{,}75\text{ м/с}^2\), ускорение направлено вниз.

Четвёртый способ. В любой момент времени точка, принадлежащая плоскости зеркала, находится на середине вертикального отрезка, соединяющего точки, принадлежащие траекториям источника и изображения. Воспользовавшись этим, мы можем восстановить траекторию точки зеркала (красная линия).

Ускорение зеркала относительно земли равно \(\vec a\). Из рисунка видно, что оно направлено вертикально вниз. Зная, что ускорение источника равно \(\vec g\), и определив координаты вершин парабол, либо характерные расстояния по вертикали и горизонтали, мы можем найти величину ускорения, воспользовавшись любым из вышеописанных способов решения.

\(a = (1{,}80 \pm 0{,}02)\text{ м/с}^2\), ускорение направлено вниз.