RLC-метр

Прибор меряет только модуль импеданса \(|Z|\) и пересчитывает его в «индуктивность» \(|Z|/\omega\) или «емкость» \(1/(\omega|Z|)\) — значит, произведение показаний в двух режимах от измеряемой цепи не зависит. Модуль раскрывайте аккуратно: подходят оба знака.

Отношение измеренных амплитуд напряжения и тока равно модулю импеданса \(|Z|\) устройства, подключенного к выводам \(RLC\)-метра. Используя известные формулы для импедансов индуктивности \(Z_L = i\omega L\) и емкости \(Z_C = -i/\omega C\) (где \(\omega\) — циклическая частота, на которой проводятся измерения), можно определить измеренные прибором значения индуктивности и емкости. Из формул для последовательного соединения импедансов получим в первом случае \[\left|\omega L - \frac{1}{\omega C}\right| = \omega L_1 = \frac{1}{\omega C_1}. \tag{1}\] Во втором случае используем формулу для импеданса параллельного соединения \[\frac{L/C}{\left|\omega L - \frac{1}{\omega C}\right|} = \omega L_2 = \frac{1}{\omega C_2}. \tag{2}\] Какое бы устройство не подключалось к выводам, показания прибора в режимах измерения индуктивности и емкости связаны соотношением \(|Z| = \omega L_1 = 1/\omega C_1\), то есть \(L_1C_1 = 1/\omega^2\). Таким образом, \(L_1C_1 = L_2C_2\), откуда \[C_2 = \frac{L_1C_1}{L_2}, \qquad C_2 = C_1\frac{L_1}{L_2} \approx 0{,}83\text{ мкФ}.\] Знаменатель в уравнении (2) для параллельного соединения совпадает с импедансом для последовательного соединения, поэтому \[\frac{L}{C\cdot\omega L_1} = \omega L_2.\] Подставляя в это соотношение значение \(\omega^2 = 1/L_1C_1\), найдём \[\frac{L}{C} = \frac{L_2}{C_1}.\] Выражая отсюда \(C_1\) и подставляя в уравнение (1), получим \[\left|L - \frac{1}{\omega^2C}\right| = \left|L - \frac{L_1L_2}{L}\right| = L_1.\] Отсюда \[|L^2 - L_1L_2| = L_1L,\] значит, \(L\) удовлетворяет одному из двух квадратных уравнений \[L^2 - L_1L_2 = \pm L_1L,\] откуда \[L^2 \mp L_1L - L_1L_2 = 0.\] Корни этих двух уравнений имеют вид \[L = \frac{\pm L_1 \pm \sqrt{L_1^2 + 4L_1L_2}}{2},\] где первый знак определяется знаком \(\pm\) в уравнении, а второй — выбранным корнем квадратного уравнения. При этом индуктивность должна быть положительной, поэтому перед квадратным корнем всегда нужно выбирать знак \(+\). Итого получаем, что возможны два значения индуктивности \[L = \frac{\sqrt{L_1^2 + 4L_1L_2} \pm L_1}{2},\] отвечающие двум разным способам раскрыть модуль. Отвечающие им значения емкости можно найти как \[C = L\frac{C_1}{L_2} = \frac{C_1}{2L_2}\left(\sqrt{L_1^2 + 4L_1L_2} \pm L_1\right) = \frac{2C_1L_1}{\sqrt{L_1^2 + 4L_1L_2} \mp L_1}.\] \[L = \frac{\sqrt{L_1^2 + 4L_1L_2} + L_1}{2} = 15{,}0\text{ мГн}; \qquad C = \frac{C_1}{2L_2}\left(\sqrt{L_1^2 + 4L_1L_2} + L_1\right) = 2{,}00\text{ мкФ},\] \[L = \frac{\sqrt{L_1^2 + 4L_1L_2} - L_1}{2} = 8{,}80\text{ мГн}; \qquad C = \frac{C_1}{2L_2}\left(\sqrt{L_1^2 + 4L_1L_2} - L_1\right) = 1{,}17\text{ мкФ}.\] Комплексный импеданс неидеальной катушки равен \[Z'_L = R + i\omega L,\] тогда измеренное значение индуктивности определяется из соотношения \[\omega L_{\exp} = \sqrt{R^2 + \omega^2L^2}, \qquad L_{\exp} = \sqrt{L^2 + \frac{R^2}{\omega^2}}.\] Видим, что это значение всегда больше значения индуктивности катушки, и в пределе больших частот стремится к ней. Тогда частота должна быть больше некоторой критической частоты, которую можно найти из условия, что \(L_{\exp} = L(1+\delta)\), где \(\delta\) — максимально допустимая погрешность: \[\sqrt{L^2 + \frac{R^2}{\omega^2}} < L(1+\delta),\] откуда с учётом малости \(\delta\) \[\frac{R^2}{\omega_c^2} = L^2\bigl((1+\delta)^2 - 1\bigr) \approx 2\delta L^2.\] Получаем критическое значение циклической частоты \[\omega_c = \frac{R}{L\sqrt{2\delta}},\] и критическое значение частоты \[f_c = \frac{R}{2\pi L\sqrt{2\delta}}, \qquad f > f_c = \frac{R}{2\pi L\sqrt{2\delta}} = 1780\text{ Гц}.\] Импеданс цепи равен \[Z = R + i\omega L - \frac{i}{\omega C}.\] Приравнивая его модуль к \(\omega L_1\), найдём измеренную индуктивность \(L_1\): \[\omega L_{\exp} = \sqrt{R^2 + \left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)^2},\] отсюда \[L_{\exp} = \sqrt{\frac{R^2}{(2\pi f)^2} + \left(L - \frac{1}{(2\pi f)^2C}\right)^2}.\] Проанализируем полученное выражение. При больших частотах слагаемые с частотой в знаменателе стремятся к \(0\), поэтому измеренное значение индуктивности стремится к постоянной \(L_{\exp} \approx L\). При малых частотах наибольшее значение у слагаемого с наибольшей степенью частоты в знаменателе, поэтому \[L_{\exp} \approx \frac{1}{(2\pi f)^2C}.\] Покажем, что у подкоренного выражения есть минимум при промежуточном значении частоты. Для удобства введём вспомогательную переменную \(x = 1/(2\pi f)^2\) и рассмотрим функцию \[f(x) = xR^2 + \left(L - \frac{x}{C}\right)^2.\] Её производная обращается в \(0\) при \[R^2 + \frac{2}{C}\left(\frac{x}{C} - L\right) = 0,\] откуда \[x = LC - \frac{R^2C^2}{2} = LC\left(1 - \frac{R^2C}{2L}\right).\] Этому значению \(x\) отвечает значение частоты \[f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}\sqrt{1 - R^2C/2L}},\] которое существует при \(R^2C/2L < 1\). Это значение отвечает минимуму рассматриваемой функции, поскольку она представляет собой квадратичную зависимость с положительным коэффициентом перед \(x^2\). Соответствующее значение индуктивности в минимуме \[L_0 = R\sqrt{CL - \frac{R^2C^2}{4}}.\] Для чисел, приведённых в условии, \[f_0 = 1590\text{ Гц}, \qquad L_0 = 0{,}50\text{ мГн}.\]