Мальчик находится в точке \(A\) в реке, на расстоянии \(a\) от берега. Он может
плыть со скоростью \(u\) или бежать со скоростью \(v>u\) по берегу; вода в реке течёт
со скоростью \(w>u\). Мальчик хочет достичь точки \(C\) выше по течению на берегу за
минимальное время. На каком расстоянии \(x\) от точки \(B\), лежащей на одной линии с
точкой \(A\), ему следует выйти из воды?
▶РешениеСкрыть
Решение 1 (принцип Ферма).
Перейдём в систему отсчёта реки, так что всюду в воде мальчик движется с постоянной скоростью \(u\). Сперва это может показаться неудобным, потому что его цель будет двигаться, но это нас вовсе не смущает. Как вскоре станет ясно, угол \(\alpha\), который мальчик составляет с береговой линией, не зависит от того, насколько далеко цель.
Рассмотрим световой луч, который стартует из \(A\) и в итоге движется со скоростью \(v+w\) параллельно береговой линии. Поскольку он идёт по самому быстрому пути, мальчику нужно повторить это поведение. Закон Снеллиуса даёт \[n_1\sin90^\circ = n_2\sin\alpha\ \Longrightarrow\ \sin\alpha = \frac u{v+w} \ \Longrightarrow\ \alpha = \arcsin\Bigl(\frac u{v+w}\Bigr).\] Полное время, которое мальчик плывёт, равно \[t = \frac du = \frac a{u\cos\alpha}.\] Относительно воды мальчик проплывает по горизонтали расстояние \(a\tg\alpha\). Вода за это время течёт на расстояние \(wt = \frac{wa}{u\cos\alpha}\) в противоположном направлении. Поэтому горизонтальное расстояние \(x\) равно \[\boxed{x = a\Bigl(\frac w{u\cos\alpha}-\tg\alpha\Bigr)}.\]
Решение 2 (принцип Гюйгенса).
Рассмотрим ту же постановку, что и раньше, перейдя в систему отсчёта реки. Однако на этот раз путь обращён. Мальчик начинает бежать из точки \(O\) вдоль берега и в конце концов начинает плыть к месту \(A\). Представьте, что мальчик испускает черенковское излучение по мере движения, как показано на чертеже. Скорость волн равна \(u\), а скорость мальчика \(w+v>u\). Физически контуры всех окружностей представляют собой суперпозицию всех точек, в которых мальчик может оказаться через время \(t\).
По принципу Гюйгенса мы видим, что это образует волновой фронт, движущийся к \(A\) со скоростью \(u\). Мы можем дать этому фронту эволюционировать, пока его часть в конце концов не достигнет точки \(A\). Путь, который проходит эта часть волны, и будет оптимальным путём мальчика, т. е. перпендикулярным фронту.
Угол \(\theta\) можно определить, рассмотрев два крайних пути, которые может выбрать мальчик. Во-первых, мальчик может сразу начать плыть и за время \(t\) достичь расстояния \(ut\). За тот же промежуток мальчик может пробежать расстояние \((w+v)t\). Угол \(\theta\) тем самым даётся выражением \[\cos\theta = \frac u{w+v},\] и потому угол \(\alpha = 90^\circ-\theta\) к нормали берега равен \[\alpha = \arcsin\Bigl(\frac u{w+v}\Bigr).\] Это тот же угол, что и в первом решении, и потому можно повторить в точности те же шаги для определения \(x\).