Мальчик живёт на берегу \(OP\) залива \(MOP\) (см. рисунок). Два берега залива
образуют угол \(\alpha\). Дом мальчика находится в точке \(A\) на расстоянии \(h\) от
берега и \(\sqrt{h^2+l^2}\) от точки \(O\). Мальчик хочет пойти рыбачить на берег
\(OM\). На каком расстоянии \(x\) от точки \(O\) должно быть место рыбалки, чтобы
добраться туда из дома за наименьшее время? Чему равно это время? Мальчик движется
со скоростью \(v\) по земле и со скоростью \(u<v\) на лодке.
▶РешениеСкрыть
\
Первый крайний случай, который нужно рассмотреть, — движение прямо по пути \(AO\), что даёт \[t = \frac{\sqrt{l^2+h^2}}v.\] К нему мы вернёмся позже, а сначала воспользуемся фактом 5, как показано на следующем чертеже.
Мы используем \(\varphi\), определённый выше, чтобы упростить вычисления, и получаем \[\frac{\sin\varphi}{\sin\alpha} = \frac vu,\qquad \varphi = \arcsin\Bigl(\frac{v\sin\alpha}u\Bigr).\] Поскольку \(x' = l-h\tg\varphi\), имеем \(x = (l-h\tg\varphi)\cos\alpha\). Кроме того, \[\begin{align*} t &= \frac h{v\cos\varphi}+\frac{x\tg\alpha}u = \frac h{v\cos\varphi}+\frac{(l-h\tg\varphi)\sin\alpha}u\\ &= \frac h{v\cos\varphi}-\frac{h\sin\varphi\sin\alpha}{u\cos\varphi} +\frac{l\sin\alpha}u = \frac h{v\cos\varphi}-\frac{h\sin^2\varphi}{v\cos\varphi}+\frac{l\sin\alpha}u\\ &= \frac{h\cos\varphi}v+\frac{l\sin\alpha}u. \end{align*}\] Однако нужно также заметить, что при \(\varphi\ge\arctg\bigl(\frac lh\bigr)\) мальчик вообще никогда не доходит до стороны \(OP\). Поэтому наш ответ таков: \[\boxed{\;x = (l-h\tg\varphi)\cos\alpha,\quad t = \frac{h\cos\varphi}v+\frac{l\sin\alpha}u\quad \text{при }\varphi<\arctg\Bigl(\frac lh\Bigr);}\] \[\boxed{\;x = 0,\quad t = \frac{\sqrt{l^2+h^2}}v\quad\text{иначе.}}\]