Муравей движется вдоль резиновой ленты со скоростью \(v = 1\) см/с. Один конец ленты (тот, от которого муравей стартовал) закреплён на стене, другой (изначально на расстоянии \(L = 1\) м от стены) тянут со скоростью \(u = 1\) м/с. Доберётся ли муравей до другого конца ленты? Если да, то когда это произойдёт?
▶РешениеСкрыть
Заметим, что \[dk = \frac{ds}{L(t)} = \frac{v\,dt}{L+ut}.\] Интегрируя обе части, получаем \[\int_0^1dk = \int_0^T\frac{v\,dt}{L+ut}.\] Подстановка \(s = L+ut\Rightarrow ds = u\,dt\) и перегруппировка интеграла дают \[1 = \frac vu\int_0^T\frac{ds}s\ \Longrightarrow\ \frac uv = \ln(ut+L)\Big|_0^T, \qquad \frac uv = \ln\Bigl(\frac{uT+L}L\Bigr).\] Подставляя данные задачи, получаем \[100 = \ln\Bigl(\frac{uT+L}L\Bigr)\ \Longrightarrow\ e^{100} = \frac{uT}L+1, \qquad \boxed{T = e^{100}-1}.\] \section[3. Оптимальные траектории]{3. Решения задач об оптимальных траекториях}
Эта глава содержит задачи 17–22 пособия. Здесь мы разбираем траектории. Прежде чем браться за эту главу, стоит хорошо разобраться в конических сечениях (в частности, в параболах) и в баллистическом движении. Здесь много доказательств, и порой в них больше математики, чем того, что обычно называют физикой. Однако не унывайте: в этой главе есть множество прекрасных задач, и некоторые из них связаны с другими областями физики.