Три черепахи изначально находятся в вершинах равностороннего треугольника на расстоянии 1 м друг от друга. Они движутся с постоянной скоростью 10 см/с так, что первая всё время направляется ко второй, вторая — к третьей, а третья — к первой. Через какое время они встретятся?
▶РешениеСкрыть
В силу симметрии черепахи встречаются в центре тяжести образованного треугольника и в любой момент образуют равносторонний треугольник. Скорость первой черепахи по отношению к другой, очевидно, равна \(0{,}1\cos60^\circ\) м/с. Значит, скорость сближения равна \[v(1+\cos60^\circ) = \frac{3v}2.\] Поскольку она постоянна, время до встречи черепах равно \[t = \frac d{\frac{3v}2} = \frac{2d}{3v} = \boxed{6{,}7\text{ с}}.\]
Решение 2. Длина пути любой черепахи попросту равна \[ds = dr\sqrt{1+\Bigl(\frac{r\,d\theta}{dr}\Bigr)^2}.\] В полярных координатах можно вывести, что \[\frac{dr}{dt} = -10\sin60^\circ,\qquad \frac{r\,d\theta}{dt} = \frac{10}2 = 5.\] Отсюда имеем \[\frac{d\theta}{dr} = -\frac1{r\sqrt3}\ \Rightarrow\ ds = \frac{2\,dr}{\sqrt3}.\] Поскольку \(dt = ds/10\), находим полное время интегрированием этого выражения: \[\int_0^Tdt = -\frac2{\sqrt3v}\int_{1/\sqrt3}^0dr,\qquad T = \frac{2d}{3v} = \boxed{6{,}7\text{ с}}.\]