Цель поражают с наименьшей возможной начальной скоростью; покажите, что начальная скорость перпендикулярна конечной (т. е. скорости у цели).
▶РешениеСкрыть
Предположим, что вы находитесь в точке \((0,0)\), а цель — в точке \((x_0,y_0)\), \(x_0>0\). Траектория снаряда задаётся уравнением \[y = x\tg\theta-\frac{gx^2}{2v^2\cos^2\theta},\] и потому наклон траектории снаряда (как функция \(x\)) равен \[\frac{dy}{dx} = \tg\theta-\frac{gx}{v^2\cos^2\theta}.\] Достаточно доказать, что \[\tg\theta\Bigl(\tg\theta-\frac{gx_0}{v^2\cos^2\theta}\Bigr) = -1.\] Поскольку \(v^2\cos^2\theta = \dfrac{gx_0^2}{2(x_0\tg\theta-y_0)}\), достаточно доказать, что \[\tg\theta\Bigl(\tg\theta-\frac{2(x_0\tg\theta-y_0)}{x_0}\Bigr) = -1.\] Мы знаем, что \[v = \sqrt{\frac{gx_0^2}{2\cos^2\theta(x_0\tg\theta-y_0)}}.\] Минимизация \(v\) означает максимизацию \[\cos^2\theta(x_0\tg\theta-y_0) = x_0\sin\theta\cos\theta-y_0\cos^2\theta.\] Поэтому, взяв производную, получаем, что нам нужно \(-\ctg(2\theta) = \dfrac{y_0}{x_0}\). Подставляя это, можно убедиться, что \[\tg\theta\Bigl(\tg\theta-2\tg\theta+\frac{2y_0}{x_0}\Bigr) = \tg\theta\cdot(-\ctg\theta) = -1. \qed\]
Решение 2. В силу идеи 28 вместе с фактами 6, 7 и 9 вертикальный луч, направленный на цель, отражается траекторией снаряда в фокус, т. е. в пушку.
Пользуясь идеей 26, мы видим, что эта траектория снаряда оптимальна также для стрельбы по позиции пушки из положения цели; следовательно, траектория снаряда отражает вертикальный луч, направленный на пушку, в сторону цели.
Если объединить эти два наблюдения, мы видим, что вертикальный луч, направленный на пушку, поворачивается после двух отражений от траектории на \(180^\circ\), а это значит, что отражающие поверхности должны были быть перпендикулярны друг другу. \qed \section[4. Твёрдые тела, шарниры и верёвки] {4. Решения задач о твёрдых телах,\ шарнирах и верёвках}
Эта глава содержит задачи 23–27 пособия. Некоторые из самых трудных задач кинематики — про твёрдые тела, шарниры и верёвки. В задачах такого типа обычно требуется вычислить какую-то характеристику движения одной системы или нескольких взаимодействующих систем объектов. Решая такие задачи, лучше всего сначала проанализировать, как будет происходить движение, и лишь затем браться за уравнения.