Калда, механика: задача 1

Самое трудное в этой задаче, как отметил Калда, — нарисовать чертёж. Приведём чертёж, с которым будем работать. Пусть \(O\) — центр обруча, а \(A\) — центр вращающегося вала.

Пусть \(Q\) — векторная сумма сил трения и нормальной реакции¹: \[Q = \sqrt{\mu^2N^2+N^2} = N\sqrt{\mu^2+1},\] поскольку система находится в равновесии; тогда сила трения \(\mu N\) должна быть равна \(mg\sin\theta\). По простой тригонометрии мы знаем также, что \(\mu N = Q\sin\theta\). Поэтому, поскольку сумма сил равна нулю, имеем \[\mu N = mg\sin\theta = N\sqrt{\mu^2+1}\sin\theta.\] Теперь нужно установить это соотношение через \(\beta\). Можно было бы обратиться к анализу моментов, однако более изящный математический подход — теорема синусов. По теореме синусов мы знаем, что \[\frac{\sin\beta}r = \frac{\sin\theta}{r+\ell}\ \Longrightarrow\ \sin\theta = \frac{(r+\ell)\sin\beta}r.\] Подставляя это вместо \(\sin\theta\), находим \[\mu N = N\sqrt{\mu^2+1}\frac{(r+\ell)\sin\beta}r,\qquad \sin\beta = \frac{r\mu}{(r+\ell)\sqrt{\mu^2+1}},\] \[\boxed{\beta = \arcsin\Bigl(\frac{r\mu}{(r+\ell)\sqrt{\mu^2+1}}\Bigr)}.\]