На наклонной плоскости с углом наклона \(\alpha\) лежит цилиндр массы \(M\),
ось которого горизонтальна. Внутрь него помещён маленький брусок массы \(m\).
Коэффициент трения между бруском и цилиндром равен \(\mu\); наклонная плоскость
нескользкая. Каков максимальный угол наклона \(\alpha\), при котором цилиндр
останется в покое? Брусок много меньше радиуса цилиндра.
▶РешениеСкрыть
\
Пусть угол между вертикалью и прямой, соединяющей груз с центром цилиндра \(O\), равен \(\theta\). Суммируя силы, действующие на груз, получаем \[mg\sin\theta-\mu mg\cos\theta = 0\ \Longrightarrow\ \mu = \tg\theta.\] Это неудивительно, поскольку это типичное условие того, что тело не проскальзывает. Вы можете сами убедиться, что эффективный угол наклона равен углу \(\theta\), который нормальная сила составляет с вертикалью.
Далее просуммируем моменты относительно точки контакта наклонной плоскости и цилиндра. Плечо для цилиндра равно \(R\sin\alpha\), а плечо для груза — \(R\sin\theta-R\sin\alpha\). Поэтому уравнение баланса моментов можно записать так: \[(M+m)g\sin\alpha = mg\sin\theta.\] Поскольку \(\tg\theta = \mu\), можно построить прямоугольный треугольник:
Поэтому \(\sin\theta = \frac\mu{\sqrt{\mu^2+1}}\). Подставляя этот результат в уравнение суммы моментов, получаем \[(M+m)g\sin\alpha = mg\frac\mu{\sqrt{\mu^2+1}},\] откуда следует ответ \[\boxed{\alpha = \arcsin\Bigl(\frac m{M+m}\frac\mu{\sqrt{\mu^2+1}}\Bigr)}.\]
Решение 2. Сначала рассмотрим только груз в цилиндре. Если поверхность, на которой лежит груз, составляет с горизонтом угол \(\theta\) такой, что \(\mu = \tg\theta\), то груз будет на грани проскальзывания. При статическом равновесии малое возмущение не изменит полной энергии. Вращение можно представить в два шага. Сначала мы чисто поступательно смещаем центр цилиндра на расстояние \(R\,d\theta\). Затем чисто поворачиваем цилиндр вокруг центра на угол \(d\theta\). Просуммируем изменение потенциальной энергии на этих двух шагах и приравняем к нулю.
Смещая цилиндр вниз по наклонной плоскости на расстояние \(R\,d\theta\), мы меняем потенциальную энергию на \[dU_{\text{цил}} = -(M+m)g(R\,d\theta)\sin\alpha.\] Далее поворачиваем цилиндр против часовой стрелки на угол \(d\theta\). Это заставит груз подняться и увеличит его потенциальную энергию на \(dU_{\text{груз}} = mgR\sin\theta\,d\theta\).
Мы знаем, что полное изменение энергии будет нулевым (поскольку \(\frac{dU}{d\theta} = 0\) в локальном минимуме), так что \[0 = -(M+m)gR\sin\alpha\,d\theta+mgR\sin\theta\,d\theta,\] \[(M+m)\sin\alpha = m\sin\theta,\qquad \sin\alpha = \frac{m\sin\theta}{M+m}.\] \(\sin\theta\) можно определить, пользуясь тем, что \(\tg\theta = \mu\); это даёт \[\boxed{\alpha = \arcsin\Bigl(\frac{m\mu}{(M+m)\sqrt{\mu^2+1}}\Bigr)}.\]