Три одинаковых стержня соединены друг с другом шарнирами, крайние из них
шарнирно закреплены на потолке в точках \(A\) и \(B\). Расстояние между этими точками
вдвое больше длины стержня. К шарниру \(C\) подвешен груз массы \(m\). Какой по
меньшей мере силой надо подействовать на шарнир \(D\), чтобы удержать систему
неподвижной с горизонтальным стержнем \(CD\)?
▶РешениеСкрыть
\
В силу симметрии системы и того, что \(AB-CD = CD = AC = BD\), видим, что \(\angle CAB = \angle DBA = 60^\circ\), так что \(AC\cos\angle CAB = \frac{AC}2\). Теперь рассмотрим суммарный момент, действующий на стержень \(CD\) относительно точки пересечения продолжений \(AC\) и \(DB\), которую назовём \(M\). Силы натяжения стержней \(AC\) и \(DB\) проходят через \(M\) и не создают момента. Единственные моменты — от \(mg\) и \(F\). Момент от \(mg\) равен \[mg\ell\sin30^\circ = \frac{mg\ell}2,\] где \(\ell\equiv MC = MD = CD\). Для минимального значения \(F\) она должна быть направлена перпендикулярно \(MB\), и её величина должна быть \[\frac{mg\ell}{2\ell} = \boxed{\frac{mg}2}.\]
Пользуясь симметрией, можно определить углы \(\angle C = \angle D = 120^\circ\) равнобедренной трапеции. Воспользуемся фактом 20 из пособия, который вкратце гласит, что если невесомый стержень свободно закреплён шарнирами на обоих концах, то сила в шарнире должна быть направлена вдоль стержня. Это единственный способ, при котором момент равен нулю.
Поэтому стержень \(AC\) должен создавать направленную вверх силу \(mg\). Пользуясь приведённым выше углом и разложив силу на компоненты, видим, что горизонтальная сила равна \(mg\tg30^\circ\). По третьему закону Ньютона это же и горизонтальная сила, которую стержень оказывает на шарнир \(D\). Значит, вертикальные силы, которые \(BD\) и \(F\) оказывают на \(D\), должны в сумме давать нуль, а их горизонтальные силы — в сумме \(mg/2\). Поэтому имеем \[F\cos\theta+T\sin30^\circ = mg\tg30^\circ,\qquad F\sin\theta = T\cos30^\circ.\] Объединяя их, чтобы убрать \(T\), получаем \[F\Bigl(\cos\theta+\frac{\sin\theta}{\sqrt3}\Bigr) = \frac{mg}2.\] \(F\) можно минимизировать, взяв производную, или заметив, что вторая часть левой стороны достигает максимума \[\sqrt{1^2+\Bigl(\frac1{\sqrt3}\Bigr)^2} = \frac2{\sqrt3},\] так что минимальная \(F\) достигается при этом значении: \[F\Bigl(\frac2{\sqrt3}\Bigr) = \frac{mg}{\sqrt3},\qquad \boxed{F = \frac{mg}2}.\] Та же задача была приведена в книге С. С. Кротова «Задачи по физике».