Какова минимальная сила, необходимая, чтобы сдвинуть с места брусок массы
\(m\), лежащий на наклонной плоскости с углом наклона \(\alpha\), если коэффициент
трения равен \(\mu\)? Исследуйте случаи: а) \(\alpha = 0\); б) \(0<\alpha<\arctg\mu\).
▶РешениеСкрыть
Возьмёмся сразу за часть (б). Часть (а) следует из тех же рассуждений и может быть выведена из части (б). Нормальная сила даётся выражением \[N = mg\cos\alpha-F\sin\theta,\] а сложение сил вдоль плоскости даёт (в предположении максимального трения) \[F\cos\theta+mg\sin\alpha-\mu N = 0.\] Подставляя наше выражение для \(N\), можно записать \(F\) через все наши переменные: \[F = \frac{mg(\mu\cos\alpha-\sin\alpha)}{\cos\theta+\mu\sin\theta}.\] \(F\) минимальна, когда знаменатель максимален. Взяв производную от \(\cos\theta+\mu\sin\theta\) и приравняв её нулю, получаем минимум \(F\) при \(\tg\theta = \mu\).
По большому треугольнику видно, что в этой конфигурации \(\tg\theta = \mu\). По двум меньшим треугольникам можно выразить гипотенузу как \(\cos\theta+\mu\sin\theta\), и эта гипотенуза оказывается равной \(\sqrt{\mu^2+1}\). Поэтому для минимальной силы можно записать \[\boxed{F_{\min} = \frac{mg(\mu\cos\alpha-\sin\alpha)}{\sqrt{\mu^2+1}}},\] что эквивалентно (хотя и не очевидно) данному в пособии ответу. Если положить \(\alpha = 0\), получаем \[\boxed{F_{\min} = mg\cdot\frac\mu{\sqrt{\mu^2+1}}}.\] В приведённом выше решении мы искали максимальное значение \(\cos\theta+\mu\sin\theta\), беря производную, а затем подставляя обратно с помощью хитрого треугольника. Однако этот шаг становится тривиальным, если знать, что для \[f(x) = A\cos x+B\sin x\] максимальное значение равно \(\sqrt{A^2+B^2}\), что даёт искомый результат \(\sqrt{1+\mu^2}\).
Решение 2. Есть четыре силы: сила тяжести, нормальная сила, приложенная сила и сила трения. Их можно свести к двум силам. Пусть \(\vec F_1 = \vec N+\vec f\) и \(\vec F_2 = \vec F+m\vec g\). Угол, который \(F_1\) составляет с перпендикуляром, равен \(\theta = \arctg\mu\).
Во-вторых, \(F_2\) должна лежать на той же прямой, что и \(F_1\). Чтобы \(F\) была построена так, чтобы это выполнялось, и при этом была минимальна, нужно, чтобы \(F\) была перпендикулярна лучу, задаваемому \(F_1\). Прослеживая углы, получаем \(\varphi = \theta-\alpha\) как угол между \(mg\) и лучом, образованным \(F_1\).
Разложив \(\vec F_2\) на компоненты, получаем \[\boxed{F = mg\sin\varphi = mg\sin(\arctg\mu-\alpha)},\] что эквивалентно приведённому выше ответу.