Полотёр состоит из тяжёлого диска массы \(M\), густо покрытого с одной стороны короткой щетиной, так что, если он лежит на полу, его вес равномерно распределён по круглой площадке радиуса \(R\). Электромотор заставляет диск вращаться с угловой скоростью \(\omega\), а пользователь компенсирует момент сил трения длинной ручкой. Той же ручкой можно толкать машину туда-сюда по полу. С какой силой надо толкать машину, чтобы она двигалась со скоростью \(v\)? Считайте, что угловая скорость диска велика, \(\omega R\gg v\), и что силой, нужной для компенсации момента, можно пренебречь. Коэффициент трения между щетиной и полом равен \(\mu\).
▶РешениеСкрыть
Когда полотёр неподвижен, для сохранения равновесия сила не нужна, потому что все векторы сил взаимно уничтожаются. Однако когда мы двигаем диск с постоянной скоростью \(v\), мы добавляем к вращению дополнительную составляющую. Пусть вращение идёт по часовой стрелке, а скорость \(v\) направлена вправо.
Тогда, перейдя в систему, движущуюся со скоростью \(v\) вправо, мы получаем на диске мгновенную ось вращения в точке \(A\), расположенной на \(r = v/\omega\) ниже центра. Вокруг этой точки можно описать окружность радиуса \(R-r\), суммарная сила по которой равна нулю. Теперь займёмся серповидной каймой.
Расстояние от \(A\) до края диска под углом \(\theta\) можно вычислить по теореме косинусов: \[AB^2 = R'^2 = r^2+R^2-2Rr\cos\theta\approx R^2-2Rr\cos\theta\] в предположении \(r\ll R\). Теперь найдём площадь показанной оранжевой области.
Площадь \(dS\) можно представить через дифференциалы как разность площадей соответствующих секторов: \[dS = \tfrac12\bigl(R'^2-(R-r)^2\bigr)d\theta =\] \[= \tfrac12\bigl(R^2-2Rr\cos\theta-R^2+r^2+2Rr\bigr)d\theta \approx Rr(1-\cos\theta)\,d\theta.\] Силу, действующую на эту поверхность, теперь можно записать как \[|d\vec F| = A\cdot dS = \frac{\mu mg}{\pi R^2}dS,\] где \(A\) — отношение полной силы трения к полной площади (иначе говоря, «плотность» силы). Тогда силу в горизонтальном направлении \(x\) можно записать как \[dF_x = \frac{\mu mg}{\pi R^2}\cos\theta\,dS = \frac{\mu mg}{\pi R^2}\cos\theta\,Rr(1-\cos\theta)\,d\theta.\] Тогда силу можно найти как интеграл в пределах от 0 до \(2\pi\): \[F_x = \frac{\mu mgr}{\pi R}\Bigl|\int_0^{2\pi}\cos\theta(1-\cos\theta) \,d\theta\Bigr| = \frac{\mu mgr}{\pi R}\cdot2\Bigl|\int_0^\pi\cos\theta(1-\cos\theta) \,d\theta\Bigr|.\] Подставляя \(r = v/\omega\), находим \[F_x = \frac{\mu mgv}{\pi\omega R}\cdot\frac{2\pi}2 = \boxed{\frac{\mu mgv}{\omega R}}.\]