Однородный брус массы \(m\) и длины \(l\) висит на четырёх одинаковых лёгких
проволоках. Проволоки прикреплены к брусу на расстояниях \(\frac{l}{3}\) друг от
друга и вертикальны, а брус горизонтален. Изначально натяжения во всех проволоках
одинаковы, \(T_0 = mg/4\). Найдите натяжения после того, как одну из крайних
проволок перерезали.
▶РешениеСкрыть
Обозначим нити слева направо как 1, 2, 3, 4. Если перерезать нить 4, то в равновесии \[T_1+T_2+T_3 = mg.\] Пусть стержень наклонён к горизонту под углом \(\theta\) в положении равновесия. Поскольку удлинения нитей малы, \(\theta\) будет очень мал. Балансируя моменты относительно 1-й нити, получаем \[T_2\Bigl(\frac\ell3\Bigr)+T_3\Bigl(\frac{2\ell}3\cos\theta\Bigr) = mg\frac\ell2\cos\theta\ \Longrightarrow\ T_2+2T_3 = \frac{3mg}2.\] Поскольку стержень жёсткий, третье уравнение можно записать как закон сохранения: \[\frac{\Delta x_2-\Delta x_1}{\ell/3} = \frac{\Delta x_3-\Delta x_1}{2\ell/3} \ \Longrightarrow\ \frac{T_2-T_1}{k\ell/3} = \frac{T_3-T_2}{k\ell/3}.\] Поскольку нити одинаковы, \(2T_2 = T_3+T_1\). У нас три уравнения и три неизвестных, и решение даёт \[\boxed{T_1 = \tfrac1{12}mg},\qquad \boxed{T_2 = \tfrac13mg},\qquad \boxed{T_3 = \tfrac7{12}mg}.\]
\section[2. Динамика]{2. Решения задач по динамике}
Эта глава посвящена задачам 24–55 пособия. Динамика, в отличие от статики, изучает движение тел. Многие задачи динамики требуют анализа ускорений системы или нахождения сил, действующих в системе. В этом разделе проф. Калда вводит приём, называемый лагранжевым формализмом, который используется для нахождения ускорения тела в системе с помощью обобщённой координаты \(\xi\). В этом разделе пособия появляется и большинство задач по механике.