Калда, механика: задача 26

Возьмём смещение \(\xi\) клина как координату, описывающую положение системы¹. Если клин смещается на \(\xi\), то и брусок смещается на столько же относительно клина, поскольку верёвка нерастяжима. Потенциальная энергия меняется на \[\Pi = mg\xi\sin\alpha.\] Чтобы найти скорость клина и скорость бруска, сложим два вектора \(\dot\xi\), разделённые углом \(\alpha\). Вертикальные компоненты вектора (\(\dot\xi\sin\frac\alpha2\)) взаимно уничтожаются в силу симметрии. Горизонтальные компоненты складываются, давая \(2\dot\xi\sin\frac\alpha2\). Итак, скорость клина равна \(\dot\xi\), а скорость бруска — \(2\dot\xi\sin\frac\alpha2\), и потому полная кинетическая энергия равна \[K = \tfrac12\dot\xi^2\Bigl(M+4m\sin^2\frac\alpha2\Bigr).\] Тогда находим \(\Pi'(\xi) = mg\sin\alpha\) и \(\mathcal M = M+4m\sin^2\frac\alpha2\); их отношение даёт ответ \[\boxed{a = \frac{mg\sin\alpha}{M+4m\sin^2\frac\alpha2}}.\] Эта задача встречается в книге С. С. Кротова «Задачи по физике».