Клин изготовлен из очень лёгкого и скользкого материала. Его верхняя
поверхность состоит из двух наклонных плоскостей, составляющих угол \(\alpha\) с
горизонтом и наклонённых друг к другу. Клин находится на горизонтальной
плоскости; шарик массы \(m\) лежит на дне ложбины на его верхней поверхности.
Другой шарик, массы \(M\), помещён выше первого, и систему отпускают. При каком
условии маленький шарик массы \(m\) начнёт скользить вверх по склону? Трением можно
пренебречь.
▶РешениеСкрыть
\
Наклоним плоскость на угол \(2\alpha\). Это делает эффективную силу тяжести в данной ситуации равной \(g_{\text{эфф}} = g\sin\alpha\cos\alpha\).
Поскольку клин невесом, нормальные силы между клином и обоими шарами должны быть равны, иначе клин испытал бы бесконечное ускорение. Приравняв эти две силы в горизонтальном направлении, получаем \[Fg\sin\alpha\cos2\alpha = Fg\sin\alpha,\qquad \cos2\alpha = \frac mM.\] Тогда нижний шар «поползёт вверх», если \[\boxed{m<M\cos2\alpha}.\]
Решение 2. Поскольку клин невесом, нормальные силы между клином и обоими шарами должны быть равны, иначе клин испытал бы бесконечное ускорение. Поэтому, приравняв силы инерции и веса в точке контакта обоих шаров, получаем уравнение \[mg\cos\alpha+ma\sin\alpha = Mg\cos\alpha+Ma\sin\alpha.\] Заметим также, что по тригонометрии после контакта у меньшей массы отношение поступательной фиктивной силы к весу шара должно быть больше \(\tg\alpha\), чтобы шар пополз вверх по склону: \[\frac{ma}{mg}>\tg\alpha\ \Longrightarrow\ a>g\tg\alpha.\] Вернёмся к первому уравнению и найдём ускорение. Перенося переменные в одну сторону, получаем \[a\sin\alpha(m+M) = g\cos\alpha(M-m)\ \Longrightarrow\ a = \frac{g\cos\alpha(M-m)}{\sin\alpha(m+M)}.\] Подставляя наше минимальное значение ускорения, получаем \[\frac{g\cos\alpha(M-m)}{\sin\alpha(m+M)}>g\tg\alpha.\] Решая это неравенство, получаем \(\boxed{m<M\cos2\alpha}\). Эта задача встречается в книге С. С. Кротова «Задачи по физике».