Две скользкие горизонтальные поверхности образуют ступеньку. К ступеньке
придвинут брусок такой же высоты, что и ступенька, а в зазор помещён цилиндр
радиуса \(r\). И цилиндр, и брусок имеют массу \(m\). Найдите нормальную силу \(N\)
между цилиндром и ступенькой в тот момент, когда расстояние между бруском и
ступенькой равно \(\sqrt2\,r\). Изначально брусок и ступенька были очень близко
друг к другу, и все тела покоились. Трение всюду равно нулю. Что произойдёт
раньше: цилиндр оторвётся от бруска или от ступеньки?
▶РешениеСкрыть
\
Обозначим горизонтальную скорость бруска через \(v\). Когда расстояние между бруском и ступенькой равно \(\sqrt2r\), цилиндр давит на брусок под углом \(45^\circ\). По тригонометрии видим, что цилиндр должен давить на брусок со скоростью \(\sqrt2v/2\), чтобы брусок двигался горизонтально со скоростью \(v\). Теперь легко видеть, что скорость цилиндра равна \[\vec v_c = -\frac{v_b}2\hat\imath-\frac{v_b}2\hat\jmath,\] где \(v_b\) — скорость бруска (направленная в сторону отрицательной оси \(x\)). По закону сохранения энергии \[mg\Bigl(r-\frac r{\sqrt2}\Bigr) = \tfrac12mv_b^2+\tfrac12mv_c^2.\] Спроецируем также второй закон Ньютона на ось, проходящую через верхний угол ступеньки и центр цилиндра: эта ось перпендикулярна и нормальной силе между бруском и цилиндром, и тангенциальному ускорению цилиндра: \[\frac{mg\sqrt2}2-N = \frac{m(\sqrt2v/2)^2}r,\] где \(N\) — нормальная сила со стороны стенки. Теперь решим эту систему относительно \(N\). В первом уравнении имеем \[mgr\Bigl(2-\frac{\sqrt2}2\Bigr)\frac1{\sqrt2} = \tfrac12mv^2+\tfrac12m\Bigl(\frac{\sqrt2v}2\Bigr)^2 = \tfrac32m\Bigl(\frac{\sqrt2v}2\Bigr)^2.\] Вынося общие множители с обеих сторон, получаем \[gr(\sqrt2-2)\cdot(-1) = 3\Bigl(\frac{\sqrt2v}2\Bigr)^2 \ \Longrightarrow\ \frac{g(2-\sqrt2)}3 = \frac{(\sqrt2v/2)^2}r.\] Подставляя этот результат, получаем \[\frac{mg\sqrt2}2-N = \frac{mg(2-\sqrt2)}3,\] и, решая относительно \(N\), \[\boxed{N = \Bigl(\frac{\sqrt2}2-\frac{2-\sqrt2}3\Bigr)mg = \Bigl(\frac{5\sqrt2-4}6\Bigr)mg}.\] Пусть нормальная сила со стороны другого бруска равна \(Q\). Отсюда, спроецировав второй закон Ньютона на цилиндр и брусок в горизонтальном направлении (и заметив, что ускорение цилиндра вдвое меньше ускорения бруска, поскольку его горизонтальная скорость вдвое меньше скорости бруска), получаем \[m(a/2) = N\sin\theta-Q\sin\theta,\qquad ma = Q\sin\theta,\] где \(\theta\) — угол, который нормальная сила составляет с вертикалью. Подставляя второе уравнение в первое, получаем \[\tfrac12Q\sin\theta = N\sin\theta-Q\sin\theta\ \Longrightarrow\ \tfrac32Q = N.\] Поэтому отношение двух нормальных сил равно \(\frac QN = \frac23\). Как отмечено в подсказке, отношение нормальных сил фиксировано, а значит, \(\boxed{\text{они обращаются в нуль одновременно}}\).
Эта задача встречается в книге С. С. Кротова «Задачи по физике».