Лёгкие колёса радиуса \(R\) насажены на тяжёлую ось. Система катится по
горизонтальной поверхности, которая внезапно переходит в наклонную с углом
\(\alpha\). При каких углах \(\alpha\) колёса будут двигаться, не отрываясь, т. е.
касаясь поверхности всё время? Массой колёс можно пренебречь. Ось параллельна
границе между горизонтальной и наклонной поверхностями и имеет скорость \(v\).
▶РешениеСкрыть
Рассмотрим момент, когда линия, соединяющая край с осью, составляет с вертикалью угол \(\theta\). Мы хотим, чтобы нормальная сила всегда была положительной (направленной наружу). Скорость оси в этот момент, \(\nu\), можно вычислить из закона сохранения энергии: \(\frac12m\nu^2 = \frac12mv^2+mgR(1-\cos\theta)\). Приравнивая суммарные силы вдоль линии, соединяющей ось с краем, к нулю, получаем \[\begin{align*} \frac{m\nu^2}R+N &= mg\cos\theta,\\ N &= mg\cos\theta-\frac{mv^2+2mgR(1-\cos\theta)}R,\\ 0 &\le \frac{3mgR\cos\theta-mv^2-2mgR}R, \end{align*}\] \[\cos\theta\ge\frac13\Bigl(2+\frac{v^2}{gR}\Bigr)\] для всех достижимых значений \(\theta\). Максимальное значение \(\theta\) равно \(\alpha\), так что \[\boxed{\cos\alpha\ge\frac13\Bigl(2+\frac{v^2}{gR}\Bigr)}\] — необходимое и достаточное условие.