Брусок массы \(M\) лежит на горизонтальной скользкой поверхности и, кроме
того, касается вертикальной стены. В верхней поверхности бруска сделана выемка в
форме половины цилиндра радиуса \(r\). С верхнего края выемки, со стороны, более
близкой к стене, отпускают маленькую дробинку массы \(m\). Какова максимальная
скорость бруска при его последующем движении? Трением можно пренебречь.
▶РешениеСкрыть
Сначала выберем систему отсчёта, в которой будем работать. Чтобы сократить как можно больше переменных, будем работать в системе отсчёта большого бруска, когда он приходит в движение.
Отсчитывая от дна круговой полости, начальная потенциальная энергия маленького бруска наверху равна \(mgr\). Когда он доходит до дна полости, он приобретает кинетическую энергию \(\frac12mv^2\). По закону сохранения энергии \[\tfrac12mv^2 = mgr\ \Longrightarrow\ v = \sqrt{2gr}.\] Когда маленький брусок находится на дне полости, он движется назад со скоростью \(v_1\) в системе отсчёта большого бруска, а сам большой брусок движется со скоростью \(v_2\) вперёд. Итак, законы сохранения импульса и энергии дают \[Mv_1-mv_2 = m\sqrt{2gr},\qquad \tfrac12Mv_1^2+\tfrac12mv_2^2 = mgr.\] Из уравнения сохранения импульса имеем \(v_2 = \frac Mmv_1-\sqrt{2gr}\). Подставляя \(v_2\) обратно, получаем \[\begin{align*} \tfrac12Mv_1^2+\tfrac12m\Bigl(\frac Mmv_1-\sqrt{2gr}\Bigr)^2 &= mgr,\\ \tfrac12Mv_1^2+\tfrac12\frac{M^2}mv_1^2+mgr-Mv_1\sqrt{2gr} &= mgr. \end{align*}\] Вычитая \(mgr\) из обеих частей и деля обе части на \(Mv_1\), получаем \[\tfrac12v_1+\frac M{2m}v_1-\sqrt{2gr} = 0,\] откуда \[v_1\Bigl(\frac{M+m}{2m}\Bigr) = \sqrt{2gr},\qquad \boxed{v_1 = 2\frac m{M+m}\sqrt{2gr}}.\] Эта задача встречается в книге С. С. Кротова «Задачи по физике».