Лёгкий стержень длины \(3l\) подвешен к потолку на двух нитях равной длины. К
стержню прикреплены два шарика массами \(m\) и \(M\); расстояние между ними и их
расстояния до концов стержня одинаковы и равны \(l\). Найдите натяжение второй нити
сразу после того, как первую перерезали.
▶РешениеСкрыть
Пусть центр масс системы — \(C\), а точка, где правая нить встречается со стержнем, — \(A\). Пусть искомое натяжение равно \(T\).
Утверждение. У точки \(A\) не должно быть ускорения.
Доказательство. Ускорение \(A\) не может быть направлено вниз, поскольку нить нерастяжима. Если ускорение \(A\) направлено вверх, то нить провиснет и \(T\) станет равным нулю, тогда ускорение центра масс будет направлено вниз, момента не будет, а значит, не будет и вращения, откуда следует, что у \(A\) ускорение направлено вниз. Получаем противоречие. Остаётся единственный случай: у \(A\) нулевое ускорение. \qed
Из-за этого \(a = \alpha\times AC\), где \(a\) и \(\alpha\) — линейное ускорение \(C\) и угловое ускорение стержня относительно \(A\) соответственно. Кроме того, \(AC = l+\frac{Ml}{M+m} = \frac{(m+2M)l}{M+m}\). Ускорение центра масс можно вычислить из второго закона Ньютона: \[(M+m)g-T = (M+m)a\ \Longrightarrow\ a = g-\frac T{M+m},\] где \(a\) положительно вниз. Момент сил на стержень относительно \(A\) равен \[\tau = (M+m)g\times AC = I\alpha = (m+4M)l^2\frac a{AC},\] \[a = \frac{(m+2M)^2}{(M+m)(m+4M)}g.\] Подставляя это в предыдущее уравнение, получаем \[\boxed{T = \frac{Mmg}{m+4M}}.\]
Решение 2. Пусть ускорение массы \(m\) сразу после перерезания второй нити равно \(a\); тогда ускорение второй массы \(M\) сразу после этого равно \(2a\). Если нормальная сила от первой массы равна \(N_1\), а от второй — \(N_2\), то наши два уравнения \(F = ma\) таковы: \[mg-N_1 = ma,\qquad Mg-N_2 = M(2a).\] Уравнение моментов: \[mg\ell+Mg(2\ell) = I\alpha = (m\ell^2+4M\ell^2)\alpha.\] Наконец, по третьему закону Ньютона натяжение равно \(T = N_1+N_2\).
Теперь можно решить задачу: четыре уравнения и четыре неизвестных. Сначала преобразуем уравнение моментов: \[mg\ell+2Mg\ell = (m\ell^2+4M\ell^2)\frac a\ell,\qquad mg+2Mg = (m+4M)a,\] \[a = \frac{m+2M}{m+4M}g.\] Вернёмся к первым двум уравнениям \(F = ma\): \[N_1 = mg-m\Bigl(\frac{m+2M}{m+4M}g\Bigr),\qquad N_2 = Mg-2M\Bigl(\frac{m+2M}{m+4M}g\Bigr).\] Тогда уравнение третьего закона Ньютона даёт \[T = (m+M)g-(m+2M)\frac{m+2M}{m+4M}g,\] \[T = \frac{(m+M)(m+4M)-(m+2M)^2}{m+4M}g,\] \[\boxed{T = \frac{Mm}{m+4M}g}.\] Эта задача встречается в книге С. С. Кротова «Задачи по физике» (правда, там спрашивалась только скорость).