Нерастяжимая шершавая нить с линейной плотностью \(\rho\) и длиной \(L\)
перекинута через блок так, что длина одного свисающего конца равна \(l\). Блок
состоит из обруча массы \(m\) и радиуса \(R\), прикреплённого к горизонтальной оси
лёгкими спицами. Изначально неподвижную систему отпускают. Найдите силу,
действующую на ось сразу после начала движения. Трением между блоком и осью можно
пренебречь.
▶РешениеСкрыть
Когда блок отпускают, одна сторона верёвки поднимется на расстояние \(\xi\), а другая опустится на \(\xi\). Изменение потенциальной энергии при этом равно \[\Pi(\xi) = -\rho g(L-2l-\pi R)\xi\ \Longrightarrow\ -\Pi'(\xi) = \rho g(L-2l-\pi R).\] Кинетическая энергия системы тогда равна \[K = \tfrac12m\dot\xi^2+\tfrac12\rho L\dot\xi^2,\] откуда эффективная масса \(\mathcal M = m+\rho L\). Ускорение системы тогда равно \[a\equiv\frac{\rho g(L-2l-\pi R)}{m+\rho L}.\] Теперь запишем смещения частей системы, умноженные на их массы и делённые на полную эффективную массу системы \(\mathcal M\). Дифференцируя это по \(\xi\), получим ускорения по направлениям \(x\) и \(y\). По направлению \(x\) имеем \[x = \frac{2R\xi\rho}{m+\rho L},\qquad a_x = \frac{2R\rho a}{m+\rho L}.\] По направлению \(y\) имеем \[y = \frac{(L-2l-\pi R)\rho\xi}{m+\rho L},\qquad a_y = \frac{(L-2l-\pi R)\rho a}{m+\rho L}.\] По \(F = ma\) направления силы по \(x\) и \(y\) тогда таковы: \[\boxed{F_x = 2R\rho a},\qquad \boxed{F_y = -\rho a(L-\pi R-2l)+(m+\rho L)g}.\]