Стержень массы \(M\) и длины \(2l\) скользит по льду. Скорость центра масс стержня
равна \(v\), угловая скорость стержня \(\omega\). В тот момент, когда скорость центра
масс перпендикулярна самому стержню, он ударяется концом о неподвижный столбик.
Какова скорость центра масс стержня после удара, если (а) удар абсолютно неупругий
(конец, ударившийся о столбик, останавливается); (б) удар абсолютно упругий?
▶РешениеСкрыть
(а) Момент импульса стержня относительно точки его конца до соударения равен \[L_0 = Mvl-\tfrac13Ml^2\omega.\] После соударения стержня со столбом его момент импульса сразу после удара равен \[L_a = Mv'l-\tfrac13Ml^2\omega'.\] Поскольку момент импульса сохраняется во всём процессе, имеем \[L_0 = L_a\ \Longrightarrow\ v-\tfrac13\omega l = v'-\tfrac13\omega'l.\] Мы знаем, что условие остановки конца стержня даёт соотношение \[v'+l\omega' = 0\ \Longrightarrow\ \omega' = -\frac{v'}l.\] Подставляя соотношение между \(\omega'\) и \(v'\) в упрощённое уравнение момента импульса, получаем \[v-\tfrac13\omega l = \tfrac43v',\qquad \boxed{v' = \frac{3v-\omega l}4}.\]
(б) Из пункта (а) имеем уравнение \(v-\frac13\omega l = v'-\frac13\omega'l\). Кинетическая энергия до соударения равна \[K = \tfrac12Mv^2+\tfrac12\Bigl(\tfrac13Ml^2\Bigr)\omega^2 = \tfrac12Mv^2+\tfrac16Ml^2\omega^2.\] Поэтому у нас два уравнения — сохранения кинетической энергии и момента импульса: \[3v-\omega l = 3v'-\omega'l,\qquad 3v^2+\omega^2l^2 = 3v'^2+\omega'^2l^2.\] Перегруппировав и разложив на множители, получаем \[3(v-v') = l(\omega-\omega'),\qquad 3(v^2-v'^2) = l^2(\omega'^2-\omega^2).\] Решая эти уравнения, получаем \[\boxed{v' = \frac{v-\omega l}2}.\]