Если ударить чем-нибудь твёрдым — например, фонарным столбом — битой, то руке, держащей биту, может стать больно, если удар приходится мимо так называемого центра удара биты (то есть ниже или выше него). Определите положение центра удара для биты постоянной плотности. Можно считать, что во время удара бита вращается вокруг держащей её руки.
▶РешениеСкрыть
Воспользуемся идеей о том, что если тело с чем-то сталкивается, то его момент импульса сохраняется относительно точки удара. При ударе о мяч вращение обращается. Когда мяч попадает в «сладкую точку» биты, удерживаемый рукой конец биты должен остановиться, не получив от руки никакого импульса. Воспользуемся этим, чтобы решить задачу. Пусть \(x\) — расстояние от центра вращения до центра удара. Момент импульса относительно точки удара до соударения равен \[L_i = mv\Bigl(x-\frac\ell2\Bigr)-I_0\omega,\] где \(v = \omega\frac\ell2\) и \(I_0 = \frac1{12}m\ell^2\). После удара бита поворачивается назад с угловой скоростью \(\omega'\), так что момент импульса после равен \[L_a = mv'\Bigl(x-\frac\ell2\Bigr)-I_0\omega',\] где \(v' = \omega'\frac\ell2\). Мы помним также, что бита должна остановиться, не получив от руки импульса, а значит, момент импульса относительно центра вращения после соударения равен нулю: \(L_a = 0\). Интуитивно это понятно, поскольку \(\omega'\) должна после соударения обратиться в нуль.
Приравнивая \(L_i = L_a\), получаем \[m\Bigl(\frac{\omega\ell}2\Bigr)\Bigl(x-\frac\ell2\Bigr) = \tfrac1{12}m\ell^2\omega,\qquad x-\frac\ell2 = \frac\ell6 \ \Longrightarrow\ \boxed{x = \frac{2\ell}3}.\]
Решение 2. Рассмотрим угловой импульс, сообщённый бите: \[I_\theta = \int\vec\tau(t)\,dt = \Delta\vec L.\] Если мяч ударяет по бите с силой \(F\) на расстоянии \(x\) от оси, то \[I_\theta = \int Fx\,dt = I_{\text{ось}}\omega\ \Longrightarrow\ \int F\,dt = \frac{I_{\text{ось}}\omega}x.\] Теперь рассмотрим импульс, полученный битой: \[I = \int F\,dt+\int R\,dt = Mv_{\text{цм}},\] где \(v_{\text{цм}} = \omega\frac\ell2\), \(\ell\) — длина биты, а \(R\) — сила, с которой действует держащая биту рука. Когда мяч попадает в «сладкую точку», \(\int R\,dt = 0\), поскольку рука не отбивает, и \[\frac{I_{\text{ось}}\omega}x = M\omega\frac\ell2\ \Longrightarrow\ \boxed{x = \frac{2\cdot\frac13M\ell^2}{M\ell} = \frac23\ell}.\]