Массивный цилиндр радиуса \(R\) и массы \(M\) лежит на полу. По окружности
цилиндра выточен узкий желобок глубины \(a\). Вокруг желобка обмотана нить, и за её
свободный конец, удерживаемый горизонтально, тянут с силой \(F\). Цилиндр расположен
так, что нить сходит с него снизу. С каким ускорением начнёт двигаться цилиндр?
Трение между полом и цилиндром достаточно велико, чтобы проскальзывания не было.
▶РешениеСкрыть
Пусть \(f\) — сила трения со стороны пола. Тогда имеем два уравнения: \[F-f = m\ddot x,\qquad fR-F(R-a) = I\ddot\theta.\] Сначала найдём силу трения. Заметив, что йо-йо катится без проскальзывания, используем соотношение \(\ddot x = R\ddot\theta\). Подставляя это во второе уравнение, получаем \[fR-F(R-a) = \tfrac12mR^2\frac{\ddot x}R\ \Longrightarrow\ fR-F(R-a) = \tfrac12R(m\ddot x).\] Подставляя первое уравнение, получаем \[fR-F(R-a) = \tfrac12R(F-f).\] Перегруппировав и упростив, получаем \(\frac32fR = \frac32FR-Fa\), откуда \[f = F-\frac23\frac{Fa}R.\] Подставляя это соотношение в первое уравнение, получаем \[F-\Bigl(F-\frac23\frac{Fa}R\Bigr) = m\ddot x\ \Longrightarrow\ \boxed{|a| = \frac23\frac{Fa}{mR}}.\] По теореме Штейнера видим, что \[I' = I_0+m\ell^2 = \tfrac12MR^2+MR^2 = \tfrac32MR^2.\] Момент, создаваемый нитью, равен \[\tau = Fa = I\varepsilon\ \Longrightarrow\ Fa = \tfrac32MR^2\Bigl(\frac{a_r}R\Bigr),\] что упрощается до \(Fa = \frac32MRa_r\), т. е. \[\boxed{a_r = \frac23\frac{Fa}{MR}}.\]