Шар катится по горизонтальному полу в области \(x<0\) со скоростью \(\vv_0 = (v_{x0}, v_{y0})\). В области \(x>0\) находится транспортёрная лента, движущаяся со скоростью \(\vu = (0,u)\) (параллельно своему краю \(x=0\)). Найдите скорость шара \(\vv = (v_x, v_y)\) относительно ленты после того, как он выкатится на ленту. Поверхность ленты шершавая (шар не проскальзывает) и расположена на одном уровне с полом.
▶РешениеСкрыть
Направим ось \(z\) вверх (это зафиксирует знаки моментов импульса). Сначала попробуем найти начальный момент импульса. Заметим, что \(L = MvR+I\omega\). Подставляя \(I = \frac25MR^2\) и \(v = \omega R\), получаем \(L = \frac75MvR\). По оси \(x\) знак момента импульса отрицателен по правилу правой руки, а по оси \(y\) — положителен. Это даёт \[L_x = -\tfrac75Mv_{y0}R,\qquad L_y = \tfrac75Mv_{x0}R.\] Шар продолжит двигаться с той же скоростью по направлению \(y\), поскольку в горизонтальном направлении неконсервативные силы не действуют. По оси \(x\) шар в итоге будет иметь скорость \(u\), откуда конечный момент импульса равен \[L_{xf} = -\tfrac75Mv_yR-MuR.\] Приравнивая это начальному моменту импульса по закону сохранения, получаем \[\tfrac75v_{y0} = \tfrac75v_y+u,\qquad v_y = v_{y0}-\tfrac57u.\] Это даёт конечную скорость \[\boxed{\bigl(v_{x0},\ v_{y0}-\tfrac57u\bigr)}.\]