«Пружинная гантель» состоит из двух шаров массы \(m\), соединённых пружиной
жёсткости \(k\). Две такие гантели скользят навстречу друг другу, скорость каждой
равна \(v_0\). В некоторый момент расстояние между ними равно \(L\) (см. рисунок).
Через какое время расстояние между ними снова станет равным \(L\)? Соударения
абсолютно упругие.
▶РешениеСкрыть
Сразу после первого соударения центры масс обеих гантелей покоятся. Затем скорости сталкивающихся шаров меняют направление, а скорости несталкивающихся шаров не меняются. Обе гантели ведут себя как маятники и совершают половину периода колебаний, после чего происходит второе соударение, аналогичное первому, при котором гантели расширяются наружу и ударяются друг о друга. После этого они разлетаются и проходят расстояние \(L\).
Итак, введём три времени \(t_1\), \(t_2\) и \(t_3\); суммируя все составляющие, получим полное время \(t\).
Вычисление \(t_1\). \(t_1\) — время до первого соударения гантелей, изначально разделённых расстоянием \(L\). Обе гантели движутся с начальной скоростью \(v_0\), так что время до соударения равно времени, за которое одна из гантелей проходит расстояние \(L/2\). Поэтому по \(v = d/t\) получаем \[t_1 = \frac L{2v_0}.\]
Вычисление \(t_2\). После соударения скорости сталкивающихся шаров меняют направление, а скорости несталкивающихся шаров не меняются. Из-за этого пружина полностью сжимается; время, за которое это происходит и затем пружина снова разжимается до второго соударения, — это \(t_2\). Обе гантели ведут себя как осцилляторы и совершают половину периода колебаний за время \(t_2\). Обе гантели движутся навстречу друг другу и сжимают гантель вдвое, из-за чего эффективная жёсткость становится вдвое больше. Поэтому \[\omega = \sqrt{\frac{2k}m}\ \Longrightarrow\ t_2 = \pi\sqrt{\frac m{2k}}.\]
Вычисление \(t_3\). Последнее время \(t_3\) — это просто время, за которое обе гантели разойдутся наружу на расстояние \(L\). Оно такое же, как \(t_1\), т. е. \(\frac L{2v_0}\).
Итак, полное время равно \[\boxed{t = t_1+t_2+t_3 = \frac L{v_0}+\pi\sqrt{\frac m{2k}}}.\]