Маленькие песчинки скользят без трения по цилиндрическому жёлобу радиуса \(R\)
(см. рисунок). Угол наклона жёлоба равен \(\alpha\). Все песчинки имеют нулевую
начальную скорость и стартуют вблизи точки \(A\) (но не обязательно в самой точке
\(A\)). Какой должна быть длина жёлоба, чтобы все песчинки вылетали из него в точке
\(B\) (т. е. точно на дне жёлоба)?
▶РешениеСкрыть
Воспользуемся тем, что эффективная сила тяжести равна \(g_{\text{эфф}} = g\cos\alpha\). Отсюда сразу \[T = 2\pi\sqrt{\frac R{g\cos\alpha}}.\] Частица выйдет в точке \(B\), если время пересечения жёлоба вдоль его оси кратно половине периода колебаний. Значит, длина даётся выражением1 \[L = \tfrac12g\sin\alpha\Bigl[\Bigl(n+\tfrac12\Bigr)\frac T2\Bigr]^2.\] Итак, \[L = \tfrac12g\sin\alpha\Bigl(n+\tfrac12\Bigr)^2\pi^2\frac R{g\cos\alpha} = \boxed{\frac{\pi^2}2\tg\alpha\Bigl(n+\frac12\Bigr)^2R}.\]
Сноски
- Множитель \(\frac12\) добавлен потому, что не все частицы выходят у самого низа жёлоба. ↩