Вешалка для одежды, сделанная из проволоки с неоднородным распределением
плотности, совершает малые колебания в плоскости рисунка. В первых двух случаях
более длинная сторона треугольника горизонтальна. Во всех трёх случаях периоды
колебаний одинаковы. Найдите положение центра масс и период колебаний.
▶РешениеСкрыть
Обозначим три случая слева направо как \(A\), \(B\) и \(C\).
Период пропорционален \(T^2\propto\frac I{\ell_{\text{цм}}}\). Поскольку у всех вешалок период одинаков, это отношение должно быть одинаковым во всех трёх ситуациях. Если момент инерции относительно центра равен \(I_0\), то \[\frac{I_0+M\ell_a^2}{\ell_a} = \frac{I_0+M\ell_b^2}{\ell_b} = \frac{I_0+M\ell_c^2}{\ell_c}.\] В силу симметрии центр масс должен лежать на вертикальной прямой, проходящей через положение штыря в случаях \(A\) и \(B\). Это даёт \(\ell_a+\ell_b = 0{,}1\).
Глядя на первую пару этого тройного равенства, видим, что это квадратное уравнение. Формула корней здесь не нужна! Из осмотра видно, что тривиальное решение — \(\ell_a = \ell_b\). Однако есть и другое решение, если это условие не выполнено! Но если \(\ell_a\ne\ell_b\), то по тем же рассуждениям либо \(\ell_a = \ell_c\), либо \(\ell_b = \ell_c\). Короче говоря, по крайней мере два из \(\ell_a\), \(\ell_b\), \(\ell_c\) совпадают.
Однако, поскольку центр масс не может лежать вне вешалки, мы знаем, что \(\ell_a\ne\ell_c\) и \(\ell_b\ne\ell_c\), так что должно быть \(\boxed{\ell_a = \ell_b = 0{,}05\text{ м}}\).
Теперь можно определить третью длину: \(\ell_c = \sqrt{0{,}21^2+0{,}05^2} = 0{,}216\) м. Пользуясь первой и третьей парами тройного равенства, находим \(I_0\): \[I_0 = M(\ell_c+\ell_a)\ell_a\ell_c.\] Подставляя это в формулу периода, получаем \[\boxed{T = 2\pi\sqrt{\frac{M(\ell_c+\ell_a)\ell_a\ell_c+M\ell_a^2}{Mg\ell_a}} = 1{,}03\text{ с}}.\]