Металлический шарик радиуса 2 мм и плотности \(\rho = 3000\) кг/м\(^3\) движется в воде, свободно падая с ускорением \(a_0 = 0{,}57g\). Плотность воды \(\rho_0 = 1000\) кг/м\(^3\). С каким ускорением будет всплывать в воде сферический пузырёк радиуса 1 мм? Считайте течение ламинарным в обоих случаях; трением пренебречь.
▶РешениеСкрыть
Методом 6 находим, что кинетическая энергия системы равна \[K = \tfrac12v^2(m+\alpha\rho_0V),\] где постоянная \(\alpha\) — число, характеризующее геометрию тела и отвечающее размеру области жидкости, которая придёт в движение (по сравнению с объёмом самого тела). Это выражение получается, если заметить, что характерная скорость жидкости вокруг тела равна \(v\), а характерный размер области, где жидкость движется (со скоростью не намного меньше \(v\)), оценивается размером самого тела. Если на тело действует сила \(F\), то мощность этой силы равна \[P = Fv = \frac{dK}{dt} = va(m+\alpha\rho_0V),\] откуда \(F = a_0(m+\alpha\rho_0V)\). Мы знаем также по закону Архимеда, что \(F = \rho Vg-\rho_0Vg\). Приравнивая эти две силы, получаем \[a_0(m+\alpha\rho_0V) = \rho Vg-\rho_0Vg.\] Мы знаем, что \(m = \rho V\), так что \[a_0(\rho+\alpha\rho_0) = \rho g-\rho_0g.\] Деля на \(a_0\) и вычитая \(\rho\), получаем \[\alpha\rho_0 = \frac{\rho g-\rho_0g}{a_0}-\rho\ \Longrightarrow\ \alpha = \frac1{\rho_0}\Bigl(\frac{\rho g-\rho_0g}{a_0}-\rho\Bigr).\] Подставляя известные величины, получаем \(\alpha = 0{,}5\). Для всплывающего пузырька эффективная масса в точности такая же, однако на этот раз масса \(dm\) пузырька пренебрежимо мала. Значит, имеем уравнение \[F = a_0(dm+\alpha\rho_0V) = \rho_0Vg-dm\,g.\] Полагая \(dm\approx0\), получаем \[a_0\alpha\rho_0 = \rho_0g\ \Longrightarrow\ \boxed{a = \frac g\alpha = 2{,}0g}.\]