Цилиндр радиуса \(R\) вращается вокруг своей оси с угловой скоростью \(\omega\).
На его внутренней поверхности лежит маленький брусок; коэффициент трения между
бруском и внутренней поверхностью цилиндра равен \(\mu\). Найдите значения
\(\omega\), при которых брусок не проскальзывает (остаётся неподвижным относительно
цилиндра). Рассмотрите случаи, когда (а) ось цилиндра горизонтальна; (б) ось
наклонена под углом \(\alpha\) к горизонту.
▶РешениеСкрыть
(а) Рассмотрим силы, действующие в поперечном сечении цилиндра. Считая брусок точечной массой и учитывая центробежную силу, строим следующий чертёж.
Поскольку система в равновесии, равнодействующая сила должна быть нулевой в обоих направлениях. Будем вести вычисления в наклонных координатах, задаваемых углом \(\theta\). В вертикальном направлении имеем \[0 = N+mg\sin\theta-m\omega^2r,\] что, в свою очередь, означает, что нормальная сила равна \(N = m\omega^2r-mg\sin\theta\). В горизонтальном направлении заметим, что \[\mu N-mg\cos\theta = 0,\qquad mg\cos\theta = \mu N.\] Однако вспомним, что \(\mu N\) — максимальное трение при проскальзывании, так что нужно поставить знак «\(\le\)»: \[mg\cos\theta\le\mu N.\] Подставляя \(N\) из предыдущего вычисления, имеем \[mg\cos\theta\le\mu(m\omega^2r-mg\sin\theta),\] перенося переменные и сокращая \(m\), получаем \[\omega^2r\ge g(\mu^{-1}\cos\theta+\sin\theta).\] Теперь наша цель — найти максимум \(\mu^{-1}\cos\theta+\sin\theta\) на отрезке \([0,2\pi]\). Известно, что синусоиду \(A\cos\theta+B\sin\theta\) можно представить одной тригонометрической функцией: \[A\cos\theta+B\sin\theta = \sqrt{A^2+B^2}\cdot\cos(\theta+\varphi).\] Из этой записи ясно, что максимальное значение равно \(\sqrt{A^2+B^2}\), что даёт максимум \(\mu^{-1}\cos\theta+\sin\theta\) равным \(\sqrt{1+\mu^{-2}}\). Подставляя это значение в наше окончательное выражение, получаем \[\boxed{\omega^2r\ge g\sqrt{\mu^{-2}+1}}.\]
(б) В этой части работаем в цилиндрических координатах. Разложим силу тяжести по двум осям. Если повернуть цилиндр на \(\alpha\), имеем \[g_z = g\sin\alpha,\qquad g_{r,\theta} = g\cos\alpha.\] Теперь остаётся подставить \(g_{\text{эфф}}\) в наши два уравнения. Для радиального уравнения было \(N = m\omega^2r-mg\sin\theta\). Поскольку нормальная сила радиальна, используем \(g_{r,\theta} = g\cos\alpha\) и подставляем: \[N = m\omega^2r-mg\cos\alpha\sin\theta.\] Во втором уравнении у нас две компоненты силы тяжести, \(F_\theta\) и \(F_z\), чей суммарный модуль должен быть меньше трения, т. е. \(\mu N\): \[\sqrt{F_\theta^2+F_z^2}\le\mu N,\] \[\sqrt{(mg\cos\alpha\cos\theta)^2+(mg\sin\alpha)^2} \le\mu(m\omega^2r-mg\cos\alpha\sin\theta).\] Вынося \(m\) и группируя, имеем \[\boxed{\omega^2r\ge g\cos\alpha\bigl(\sqrt{\cos^2\theta+\tg^2\alpha} +\mu\sin\theta\bigr)}.\] Снова нужно максимизировать правую часть. Здесь, к сожалению, нет изящного приёма, кроме дифференцирования и приравнивания результата нулю.